Cele mai importante aspecte ale lecției
- Principiul metodei: Se pornește de la rezultatul final și se execută calculele în ordine inversă față de textul problemei.
- Operațiile inverse: Adunarea se anulează prin scădere, scăderea prin adunare, înmulțirea prin împărțire, iar împărțirea prin înmulțire.
- Expresii numerice: Se poate scrie ecuația cu o necunoscută (\(x\)) și se rezolvă treptat, izolând parantezele (dinspre exterior spre interior).
- Metoda grafică: Desenarea segmentelor este esențială la problemele de tip "fracție din rest". Se rezolvă pornind de la ultimul segment a cărui valoare exactă este cunoscută.
Metoda mersului invers se folosește pentru rezolvarea problemelor în care cunoaștem rezultatul final al unui șir de operații și trebuie să aflăm numărul inițial (de la care s-a pornit).
Pentru a afla numărul necunoscut, se efectuează operațiile în ordine inversă față de cea din enunț, schimbând fiecare operație cu inversa ei:
- Adunarea devine scădere (\(+\) se transformă în \(-\)).
- Scăderea devine adunare (\(-\) se transformă în \(+\)).
- Înmulțirea devine împărțire (\(\times\) se transformă în \(:\)).
- Împărțirea devine înmulțire (\(:\) se transformă în \(\times\)).
Mă gândesc la un număr. Îl înmulțesc cu 9, apoi îl împart la 3. Rezultatul obținut îl adun cu 2464 și obțin 2500. Care este numărul?
Pornim de la rezultatul final (2500) și aplicăm operațiile inverse:
Pornim de la rezultatul final (2500) și aplicăm operațiile inverse:
- \( 2\,500 - 2\,464 = 36 \) (am inversat adunarea)
- \( 36 \times 3 = 108 \) (am inversat împărțirea)
- \( 108 : 9 = 12 \) (am inversat înmulțirea)
Mă gândesc la un număr. Îl împart la 5, apoi îl înmulțesc cu 7. Rezultatul obținut îl adun cu 2663 și obțin 4000. La ce număr m-am gândit?
Aplicăm metoda mersului invers:
1. Inversăm adunarea: \( 4\,000 - 2\,663 = 1\,337 \)
2. Inversăm înmulțirea: \( 1\,337 : 7 = 191 \)
3. Inversăm împărțirea: \( 191 \times 5 = 955 \)
Răspuns: Numărul este 955.
1. Inversăm adunarea: \( 4\,000 - 2\,663 = 1\,337 \)
2. Inversăm înmulțirea: \( 1\,337 : 7 = 191 \)
3. Inversăm împărțirea: \( 191 \times 5 = 955 \)
Răspuns: Numărul este 955.
Problemele care se rezolvă prin mersul invers pot fi transcrise sub forma unei singure expresii matematice, folosind o literă (de exemplu, \(a\) sau \(x\)) pentru numărul necunoscut.
Se scrie enunțul sub forma unei egalități, respectând ordinea operațiilor.
Se calculează succesiv valoarea parantezelor sau a blocurilor de operații, izolând necunoscuta pas cu pas, mutând termenii cunoscuți de cealaltă parte a egalului cu semn schimbat.
Fie problema: Un număr \(a\) se înmulțește cu 9, se împarte la 3, se adună cu 2464 și se obține 2500.
\[ a \times 9 : 3 + 2\,464 = 2\,500 \]
Izolăm blocul care conține necunoscuta:
\[ a \times 9 : 3 = 2\,500 - 2\,464 \]
\[ a \times 9 : 3 = 36 \]
\[ a \times 9 = 36 \times 3 \]
\[ a \times 9 = 108 \]
\[ a = 108 : 9 \Rightarrow a = 12 \]
Află numărul necunoscut din expresia: \( (x : 6 - 528) + 307 = 517 \)
Privim paranteza ca pe un singur termen necunoscut:
\( x : 6 - 528 = 517 - 307 \)
\( x : 6 - 528 = 210 \)
Acum izolăm \( x : 6 \):
\( x : 6 = 210 + 528 \)
\( x : 6 = 738 \)
\( x = 738 \times 6 \)
\( x = 4\,428 \)
\( x : 6 - 528 = 517 - 307 \)
\( x : 6 - 528 = 210 \)
Acum izolăm \( x : 6 \):
\( x : 6 = 210 + 528 \)
\( x : 6 = 738 \)
\( x = 738 \times 6 \)
\( x = 4\,428 \)
Când problema implică fracții (jumătate, un sfert, o treime) din resturi succesive, este foarte utilă reprezentarea grafică prin segmente.
Se desenează un segment mare care se împarte conform datelor problemei. Se evidențiază restul după fiecare etapă. Calculul începe întotdeauna de la ultima bucată cunoscută (valoarea finală).
Dacă ultima porțiune (mersul pe jos) are 2000 m și reprezintă jumătate din ultimul rest, atunci:
- Bicicleta = \(2\,000 \text{ m}\) (fiind cealaltă jumătate).
- Autocarul = \(2\,000 \times 2 = 4\,000 \text{ m}\) (dublul porțiunii anterioare).
- Trenul = \(4\,000 \times 2 = 8\,000 \text{ m}\) (jumătate din întregul traseu).
- Total = \(8\,000 \times 2 = 16\,000 \text{ m}\) (sau 16 km).
Probleme de exersare
Ușoară: Mă gândesc la un număr. Îl împart la 4, adun 15, iar rezultatul îl înmulțesc cu 2 obținând 50. Care este numărul?
Aplicăm mersul invers:
1. Inversăm înmulțirea: \( 50 : 2 = 25 \)
2. Inversăm adunarea: \( 25 - 15 = 10 \)
3. Inversăm împărțirea: \( 10 \times 4 = 40 \)
Răspuns: Numărul este 40.
1. Inversăm înmulțirea: \( 50 : 2 = 25 \)
2. Inversăm adunarea: \( 25 - 15 = 10 \)
3. Inversăm împărțirea: \( 10 \times 4 = 40 \)
Răspuns: Numărul este 40.
Medie: Află numărul necunoscut din ecuația: \( [(x : 3 - 1) : 6 + 489] : 25 + 2 = 56 \)
Rezolvăm "desfăcând" operațiile de la exterior spre interior:
\( [(x : 3 - 1) : 6 + 489] : 25 = 56 - 2 \)
\( [(x : 3 - 1) : 6 + 489] : 25 = 54 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 + 489 = 54 \times 25 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 + 489 = 1\,350 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 = 1\,350 - 489 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 = 861 \)
\( x : 3 - 1 = 861 \times 6 \)
\( x : 3 - 1 = 5\,166 \)
\( x : 3 = 5\,166 + 1 \)
\( x : 3 = 5\,167 \)
\( x = 5\,167 \times 3 \Rightarrow x = 15\,501 \)
\( [(x : 3 - 1) : 6 + 489] : 25 = 56 - 2 \)
\( [(x : 3 - 1) : 6 + 489] : 25 = 54 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 + 489 = 54 \times 25 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 + 489 = 1\,350 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 = 1\,350 - 489 \)
\( (x : 3 - 1) : 6 = 861 \)
\( x : 3 - 1 = 861 \times 6 \)
\( x : 3 - 1 = 5\,166 \)
\( x : 3 = 5\,166 + 1 \)
\( x : 3 = 5\,167 \)
\( x = 5\,167 \times 3 \Rightarrow x = 15\,501 \)
Dificilă: Un automobilist parcurge un drum în 3 săptămâni. În prima săptămână parcurge o treime din drum, în a doua săptămână parcurge un sfert din distanța rămasă, iar în a treia restul de 3210 km. Câți kilometri a parcurs în total?
Folosim metoda grafică (sau logica mersului invers din aproape în aproape):
1. Cei 3210 km parcurși în a treia săptămână reprezintă \( \frac{3}{4} \) (trei sferturi) din restul rămas după prima săptămână (deoarece în a doua s-a parcurs \( \frac{1}{4} \)).
2. Aflăm un sfert din acel rest: \( 3\,210 : 3 = 1\,070 \text{ km} \) (aceasta e distanța din săptămâna a doua).
3. Aflăm restul întreg rămas după prima săptămână (4 sferturi): \( 1\,070 \times 4 = 4\,280 \text{ km} \).
4. Acești 4280 km reprezintă două treimi (\( \frac{2}{3} \)) din drumul total, deoarece în prima săptămână s-a parcurs o treime.
5. Aflăm o treime din drumul total (distanța din prima săptămână): \( 4\,280 : 2 = 2\,140 \text{ km} \).
6. Aflăm drumul total: \( 2\,140 \times 3 = 6\,420 \text{ km} \).
Răspuns: 6420 km.
1. Cei 3210 km parcurși în a treia săptămână reprezintă \( \frac{3}{4} \) (trei sferturi) din restul rămas după prima săptămână (deoarece în a doua s-a parcurs \( \frac{1}{4} \)).
2. Aflăm un sfert din acel rest: \( 3\,210 : 3 = 1\,070 \text{ km} \) (aceasta e distanța din săptămâna a doua).
3. Aflăm restul întreg rămas după prima săptămână (4 sferturi): \( 1\,070 \times 4 = 4\,280 \text{ km} \).
4. Acești 4280 km reprezintă două treimi (\( \frac{2}{3} \)) din drumul total, deoarece în prima săptămână s-a parcurs o treime.
5. Aflăm o treime din drumul total (distanța din prima săptămână): \( 4\,280 : 2 = 2\,140 \text{ km} \).
6. Aflăm drumul total: \( 2\,140 \times 3 = 6\,420 \text{ km} \).
Răspuns: 6420 km.
