Cele mai importante aspecte ale lecției
Înmulțirea este o adunare repetată (ex. \( 3 \cdot 4 = 12 \)).
Proprietăți fundamentale:
Proprietăți fundamentale:
- Comutativitate: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Asociativitate: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Element neutru: 1 (ex. \( 15 \cdot 1 = 15 \))
- Distributivitate: \( a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c \)
- Înmulțirea cu 0: \( a \cdot 0 = 0 \)
Înmulțirea reprezintă adunarea repetată a unui număr de un anumit număr de ori.
Rezultatul înmulțirii se numește produs, iar numerele care se înmulțesc se numesc factori.
Primul factor se mai numește deînmulțit, iar al doilea se numește înmulțitor.
Pentru înmulțire se folosește semnul „\( \times \)” sau „\( \cdot \)”. De exemplu, produsul dintre \( a \) și \( b \) se poate scrie \( a \cdot b \) sau simplu \( ab \).
Suma \( 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 \) (adică numărul 4 adunat de 7 ori) se scrie sub formă de înmulțire:
\[ 4 \cdot 7 = 28 \]
Aici, 4 și 7 sunt factorii, iar 28 este produsul.
Scrieți adunarea repetată \( 9 + 9 + 9 + 9 + 9 \) sub formă de înmulțire și identificați factorii și produsul.
Adunarea repetată se scrie: \( 9 \cdot 5 = 45 \).
Factorii sunt 9 (deînmulțitul) și 5 (înmulțitorul), iar produsul este 45.
Factorii sunt 9 (deînmulțitul) și 5 (înmulțitorul), iar produsul este 45.
Comutativitatea: Ordinea factorilor nu modifică valoarea produsului.
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Exemplu: \( 30 \cdot 2 = 2 \cdot 30 = 60 \)
Asociativitatea: Modul în care grupăm factorii nu modifică rezultatul final.
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Exemplu: \( (3 \cdot 8) \cdot 9 = 3 \cdot (8 \cdot 9) = 216 \)
Elementul neutru: Numărul 1 este elementul neutru la înmulțire, adică orice număr înmulțit cu 1 rămâne neschimbat.
\[ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \]
Exemplu: \( 36 \cdot 1 = 36 \)
Distributivitatea față de adunare și scădere: Înmulțirea unui număr cu o sumă sau o diferență este egală cu suma sau diferența produselor acelui număr cu fiecare termen în parte.
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
\[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \quad (\text{unde } b \ge c) \]
Exemple:
- \( 25 \cdot (37 + 63) = 25 \cdot 37 + 25 \cdot 63 \)
- \( 20 \cdot (50 - 30) = 20 \cdot 50 - 20 \cdot 30 \)
Înmulțirea cu 0: Orice număr înmulțit cu 0 are ca rezultat 0.
\[ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \]
Pentru a înmulți două numere formate din mai multe cifre, se înmulțește fiecare cifră a celui de-al doilea factor cu primul factor, obținându-se produse parțiale. Acestea se scriu unele sub altele, decalate cu o poziție spre stânga, apoi se adună.
La înmulțirea unui număr natural cu 10, 100, 1000, 10000 etc., se adaugă la dreapta numărului atâtea zerouri câte are factorul cu care înmulțim.
Exemple:
Exemple:
- \( 23 \cdot 10 = 230 \)
- \( 23 \cdot 100 = 2300 \)
- \( 23 \cdot 1000 = 23000 \)
Probleme practice
Problemă ușoară: Calculați rapid, folosind regulile speciale, produsul: \( 405 \cdot 100 \).
La înmulțirea cu 100, adăugăm două zerouri la dreapta numărului dat:
\[ 405 \cdot 100 = 40500 \]
Problemă medie: Calculați în cel mai simplu mod, folosind proprietățile înmulțirii: \( 12 \cdot (256 - 124) \).
Putem folosi distributivitatea înmulțirii față de scădere:
\[ 12 \cdot (256 - 124) = 12 \cdot 256 - 12 \cdot 124 \]
Calculăm produsele parțiale:
\[ 12 \cdot 256 = 3072 \]
\[ 12 \cdot 124 = 1488 \]
Efectuăm scăderea:
\[ 3072 - 1488 = 1584 \]
Problemă dificilă: Folosiți distributivitatea înmulțirii pentru a calcula rapid expresia \( 18 \cdot 47 + 18 \cdot 53 \).
Observăm că numărul 18 este factor comun în ambele produse. Putem aplica distributivitatea în sens invers (darea ca factor comun):
\[ 18 \cdot 47 + 18 \cdot 53 = 18 \cdot (47 + 53) \]
Calculăm mai întâi suma din paranteză:
\[ 47 + 53 = 100 \]
Acum înmulțim rezultatul cu 18:
\[ 18 \cdot 100 = 1800 \]
