V.4.1. Cel Mai Mare Divizor Comun A Două Numere Naturale

Pentru a completa tabelul, vom determina pentru fiecare pereche de numere \((a, b)\) mulțimea divizorilor fiecărui număr, apoi vom identifica divizorii comuni și cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.).

Pasul 1: Perechea \( a = 8, b = 9 \)

Divizorii lui \( 8 \) sunt numerele la care \( 8 \) se împarte exact: \( D_8 = \{1, 2, 4, 8\} \). Divizorii lui \( 9 \) sunt: \( D_9 = \{1, 3, 9\} \). Divizorii comuni se obțin prin intersecția celor două mulțimi: \( \{1, 2, 4, 8\} \cap \{1, 3, 9\} = \{1\} \). Cel mai mare divizor comun este \( 1 \). Numerele care au c.m.m.d.c. egal cu \( 1 \) se numesc prime între ele.

Pasul 2: Perechea \( a = 5, b = 30 \)

Divizorii lui \( 5 \) (fiind număr prim): \( D_5 = \{1, 5\} \). Divizorii lui \( 30 \): \( D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} \). Divizorii comuni: \( \{1, 5\} \cap \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\} = \{1, 5\} \). Cel mai mare divizor comun este \( 5 \). Observăm că \( 5 \) îl divide pe \( 30 \), deci c.m.m.d.c. este chiar numărul mai mic.

Pasul 3: Perechea \( a = 24, b = 20 \)

Divizorii lui \( 24 \): \( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \). Divizorii lui \( 20 \): \( D_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} \). Divizorii comuni: \( \{1, 2, 4\} \). Cel mai mare divizor comun este \( 4 \).

Pasul 4: Perechea \( a = 8, b = 50 \)

Divizorii lui \( 8 \): \( D_8 = \{1, 2, 4, 8\} \). Divizorii lui \( 50 \): \( D_{50} = \{1, 2, 5, 10, 25, 50\} \). Divizorii comuni: \( \{1, 2\} \). Cel mai mare divizor comun este \( 2 \).

Pasul 5: Perechea \( a = 27, b = 72 \)

Divizorii lui \( 27 \): \( D_{27} = \{1, 3, 9, 27\} \). Divizorii lui \( 72 \): \( D_{72} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\} \). Divizorii comuni: \( \{1, 3, 9\} \). Cel mai mare divizor comun este \( 9 \).

Pasul 6: Transcrierea în tabel

Sintetizăm toate datele găsite în formatul solicitat: \[ \begin{array}{|c|c|l|l|c|c|} \hline a & b & \text{Divizorii lui } a & \text{Divizorii lui } b & \text{Div. comuni} & \text{c.m.m.d.c.} \\ \hline 8 & 9 & 1, 2, 4, 8 & 1, 3, 9 & 1 & 1 \\ \hline 5 & 30 & 1, 5 & 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 & 1, 5 & 5 \\ \hline 24 & 20 & 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 & 1, 2, 4, 5, 10, 20 & 1, 2, 4 & 4 \\ \hline 8 & 50 & 1, 2, 4, 8 & 1, 2, 5, 10, 25, 50 & 1, 2 & 2 \\ \hline 27 & 72 & 1, 3, 9, 27 & 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, \dots, 72 & 1, 3, 9 & 9 \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|c|l|l|l|c|} \hline a & b & D_a & D_b & D_a \cap D_b & (a,b) \\ \hline 8 & 9 & 1, 2, 4, 8 & 1, 3, 9 & 1 & 1 \\ \hline 5 & 30 & 1, 5 & 1, \dots, 5, \dots, 30 & 1, 5 & 5 \\ \hline 24 & 20 & 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 & 1, 2, 4, 5, 10, 20 & 1, 2, 4 & 4 \\ \hline 8 & 50 & 1, 2, 4, 8 & 1, 2, 5, 10, 25, 50 & 1, 2 & 2 \\ \hline 27 & 72 & 1, 3, 9, 27 & 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, \dots, 72 & 1, 3, 9 & 9 \\ \hline \end{array} \]