Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Fracție zecimală finită: Este formată din parte întreagă (stânga) și parte zecimală (dreapta), despărțite de virgulă (ex: \(15,37\)).
- Transformare ordinară \(\to\) zecimală: Fracțiile cu numitori puteri ale lui 10 se scriu direct punând virgula după atâtea cifre câte zerouri sunt la numitor (ex: \(\frac{23}{100} = 0,23\)).
- Transformare zecimală \(\to\) ordinară: Numărul fără virgulă la numărător, supra puterea lui 10 corespunzătoare numărului de zecimale la numitor (ex: \(1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}\)).
- Comparare: Se compară prima dată partea întreagă, apoi zecimalele de la stânga la dreapta (ex: \(4,2 > 4,19\)).
- Rotunjire: Se analizează prima cifră care urmează după ordinul la care se face rotunjirea. Dacă este \(\ge 5\), se mărește ultima cifră cu 1 unitate (ex: \(5,68 \approx 5,7\)); dacă este \(< 5\), cifra rămâne neschimbată (ex: \(5,62 \approx 5,6\)).
O fracție zecimală cu un număr finit de zecimale nenule este o altă formă de scriere a unei fracții ordinare care are ca numitor o putere a lui 10.
O fracție zecimală este formată din:
- Partea întreagă: cifrele aflate în stânga virgulei;
- Partea zecimală: cifrele aflate în dreapta virgulei (numite zecimale).
Pozițiile cifrelor de după virgulă (zecimalele) definesc unitățile fracționare zecimale:
- Prima cifră din dreapta virgulei se numește zecime: \( \frac{1}{10} = 0,1 \);
- A doua cifră din dreapta virgulei se numește sutime: \( \frac{1}{100} = 0,01 \);
- A treia cifră din dreapta virgulei se numește miime: \( \frac{1}{1000} = 0,001 \).
\[ \frac{1}{10^n} = 0,\underbrace{00...01}_{n \text{ cifre}} \]
Sufixul indică faptul că numărul de zecimale de după virgulă coincide cu exponentul \(n\) al puterii lui 10 de la numitor.
- Orice număr natural se poate scrie ca o fracție zecimală adăugând o virgulă și cifra \(0\) la final (ex: \( 213 = 213,0 \)).
- Adăugarea sau eliminarea de zerouri de la sfârșitul părții zecimale nu modifică valoarea fracției zecimale (ex: \( 5,12 = 5,120 = 5,12000 \) și invers \( 5,11200 = 5,112 \)).
Identificați partea întreagă, cifra zecimilor și cifra sutimilor pentru fracția zecimală \(45,308\).
Pentru numărul \(45,308\):
- Partea întreagă este \(45\) (în stânga virgulei);
- Cifra zecimilor (prima cifră după virgulă) este \(3\);
- Cifra sutimilor (a doua cifră după virgulă) este \(0\).
Pentru a scrie o fracție ordinară care are numitorul o putere a lui 10 (\(10, 100, 1000\) etc.) sub formă de fracție zecimală:
- Se scrie numărătorul fracției ordinare.
- Se numără de la dreapta spre stânga atâtea cifre câte zerouri are numitorul (sau exponentul lui 10) și se plasează virgula.
- Dacă cifrele de la numărător nu sunt suficiente, se adaugă zerouri în fața lui înainte de a pune virgula.
\[ \frac{253}{10} = 25,3 \quad (\text{un zero la numitor } \rightarrow \text{ o zecimală}) \]
\[ \frac{8}{100} = 0,08 \quad (\text{două zerouri la numitor } \rightarrow \text{ două zecimale}) \]
\[ \frac{23}{1000} = 0,023 \quad (\text{trei zerouri la numitor } \rightarrow \text{ trei zecimale}) \]
Dacă fracția ordinară nu are numitorul o putere a lui 10, dar se poate aduce la o formă care are numitorul putere a lui 10 (prin amplificare sau simplificare), atunci o putem transforma în fracție zecimală:
\[ \frac{7}{2} \stackrel{\cdot 5}{=} \frac{35}{10} = 3,5 \]
\[ \frac{30}{125} \stackrel{\cdot 8}{=} \frac{240}{1000} = 0,24 \]
Scrieți fracția ordinară \(\frac{3}{4}\) sub formă de fracție zecimală.
Amplificăm mai întâi fracția cu \(25\) pentru a obține la numitor o putere a lui 10 (în acest caz, \(100\)):
\[ \frac{3}{4} \stackrel{\cdot 25}{=} \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} \]
Acum, aplicând regula, numărăm două cifre de la dreapta la stânga și punem virgula:
\[ \frac{75}{100} = 0,75 \]
Pentru a transforma o fracție zecimală finită într-o fracție ordinară:
- La numărător se scrie numărul obținut prin eliminarea virgulei.
- La numitor se scrie o putere a lui 10 cu exponentul egal cu numărul de cifre aflate după virgulă (numărul de zecimale).
\[ \overline{a,bc...z} = \frac{\overline{abc...z}}{10^n} \]
unde \(n\) reprezintă numărul de cifre din partea zecimală (de după virgulă).
\[ 23,567 = \frac{23567}{10^3} = \frac{23567}{1000} \]
\[ 0,0435 = \frac{435}{10^4} = \frac{435}{10000} \]
Transformați fracția zecimală \(1,25\) în fracție ordinară ireductibilă.
Numărul are două zecimale, deci la numitor vom pune \(10^2 = 100\):
\[ 1,25 = \frac{125}{100} \]
Simplificăm fracția prin cel mai mare divizor comun al numerelor \(125\) și \(100\), care este \(25\):
\[ \frac{125}{100} \stackrel{: 25}{=} \frac{5}{4} \]
Răspuns: Fracția ordinară ireductibilă este \(\frac{5}{4}\).
Orice fracție zecimală finită poate fi scrisă ca o sumă de produse și fracții ordinare, procedeu numit descompunere zecimală. Fiecare cifră își arată astfel valoarea de poziție (sute, zeci, unități, zecimi, sutimi, miimi etc.).
\[ \overline{ab,cde} = a \cdot 10 + b \cdot 1 + \frac{c}{10} + \frac{d}{100} + \frac{e}{1000} \]
Descompunerea zecimală a numărului \(234,549\) este:
\[ 234,549 = 2 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 1 + \frac{5}{10} + \frac{4}{100} + \frac{9}{1000} \]
Scrieți descompunerea zecimală pentru numărul \(7,085\).
Identificăm pozițiile cifrelor:
- \(7\) reprezintă unitățile;
- \(0\) reprezintă zecimile;
- \(8\) reprezintă sutimile;
- \(5\) reprezintă miimile.
Pentru a compara două fracții zecimale finite, se procedează astfel:
- Se compară mai întâi părțile întregi. Este mai mare numărul care are partea întreagă mai mare.
- Dacă părțile întregi sunt egale, se compară părțile zecimale, cifră cu cifră, de la stânga la dreapta (mai întâi zecimile, apoi sutimile, miimile etc.), până când se găsesc două cifre diferite de același ordin. Este mai mare fracția zecimală care are cifra de ordin respectiv mai mare.
- \( 26,12 > 23,34 \) deoarece la părțile întregi avem \( 26 > 23 \).
- \( 26,34 > 26,12 \) deoarece părțile întregi sunt egale, iar la zecimi avem \( 3 > 1 \).
- \( 39,132 > 39,12 \) deoarece \( 39,12 = 39,120 \), iar la sutimi avem \( 3 > 2 \).
Ordonați crescător numerele: \(5,4\); \(5,04\); \(5,43\); \(4,99\).
- Comparăm mai întâi părțile întregi: \(4 < 5\), deci cel mai mic este \(4,99\).
- Pentru numerele cu partea întreagă \(5\) (adică \(5,40\); \(5,04\); \(5,43\)), comparăm zecimile:
- \(5,04\) are \(0\) la zecimi (cel mai mic dintre cele trei).
- \(5,40\) și \(5,43\) au zecimile egale (\(4\)).
- Comparăm sutimile pentru \(5,40\) și \(5,43\): \(0 < 3\), deci \(5,40 < 5,43\).
- Aproximarea prin lipsă la un anumit ordin (zecimi, sutimi etc.) se obține prin eliminarea tuturor zecimalelor aflate la dreapta ordinului cerut.
- Aproximarea prin adaos se obține prin mărirea cu o unitate a ultimei cifre păstrate prin aproximarea prin lipsă.
- Rotunjirea se realizează astfel:
- Se analizează prima cifră din dreapta ordinului la care se face rotunjirea.
- Dacă această cifră este mai mică decât 5 (\(0, 1, 2, 3, 4\)), rotunjirea este egală cu aproximarea prin lipsă.
- Dacă această cifră este mai mare sau egală cu 5 (\(5, 6, 7, 8, 9\)), rotunjirea este egală cu aproximarea prin adaos.
Pentru numărul \(13,3865\):
- Aproximarea prin lipsă la sutimi este \(13,38\).
- Aproximarea prin adaos la sutimi este \(13,39\).
- Rotunjirea la sutimi: cifra din dreapta sutimilor (miimile) este \(6\) (care este \(\ge 5\)), deci rotunjirea se face prin adaos: \(13,39\).
Orice fracție zecimală cu parte zecimală nenulă poate fi încadrată:
- Între numere naturale consecutive: \(23 < 23,4 < 24\).
- Între fracții zecimale cu o singură zecimală: \(8,7 < 8,74 < 8,8\).
Efectuați rotunjirea numărului \(0,7153\) la zecimi și la sutimi.
- La zecimi: cifra din dreapta zecimilor (sutimile) este \(1\) (care este \(< 5\)). Rotunjirea este egală cu aproximarea prin lipsă: \(0,7\).
- La sutimi: cifra din dreapta sutimilor (miimile) este \(5\) (care este \(\ge 5\)). Rotunjirea este egală cu aproximarea prin adaos, mărind sutimile cu 1: \(0,72\).
Pentru a reprezenta o fracție zecimală de forma \(\overline{a,b}\) pe axa numerelor:
- Încadrăm fracția între numerele naturale consecutive \(a\) și \(a+1\).
- Împărțim segmentul unitate dintre punctele \(a\) și \(a+1\) în 10 segmente egale (fiecare reprezentând o zecime, adică \(0,1\)).
- Numărăm \(b\) unități (zecimi) spre dreapta, pornind din punctul \(a\).
Pentru a reprezenta numărul \(2,7\) pe axă, îl încadrăm între 2 și 3, apoi numărăm 7 diviziuni după numărul 2:
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Transformați fracția ordinară \(\frac{12}{1000}\) în fracție zecimală și scrieți descompunerea ei zecimală.
Numitorul are 3 zerouri, deci la transformare numărăm 3 cifre de la dreapta la stânga (adăugând un zero în stânga):
\[ \frac{12}{1000} = 0,012 \]
Descompunerea zecimală este:
\[ 0,012 = \frac{0}{10} + \frac{1}{100} + \frac{2}{1000} = \frac{1}{100} + \frac{2}{1000} \]
Problemă 2 (Medie): Încadrați fracția zecimală \(18,578\):
- Între două numere naturale consecutive.
- Între două fracții zecimale cu o singură zecimală.
- Partea întreagă a numărului este \(18\), iar succesorul său este \(19\). Încadrarea între numere naturale consecutive este: \[ 18 < 18,578 < 19 \]
- Cea mai apropiată valoare cu o singură zecimală mai mică este aproximarea prin lipsă la zecimi: \(18,5\). Cea mai apropiată valoare cu o singură zecimală mai mare este aproximarea prin adaos la zecimi: \(18,6\). Încadrarea este: \[ 18,5 < 18,578 < 18,6 \]
Problemă 3 (Dificilă): Determinați cifrele distincte \(x\) pentru care fracția zecimală \(7,x4\) verifică simultan relațiile:
\[ 7,3 < 7,x4 < 7,85 \]
Pentru a putea compara cu ușurință numerele, le scriem pe toate cu același număr de zecimale (două zecimale):
\[ 7,30 < 7,x4 < 7,85 \]
Părțile întregi fiind egale, comparăm zecimalele:
- Din prima relație, \(7,30 < 7,x4\). Rezultă că cifra zecimilor \(x\) trebuie să fie mai mare sau egală cu \(3\). Dacă \(x = 3\), avem \(7,30 < 7,34\), ceea ce este adevărat. Deci \(x \ge 3\).
- Din a doua relație, \(7,x4 < 7,85\). Rezultă că cifra zecimilor \(x\) trebuie să fie mai mică sau egală cu \(8\). Dacă \(x = 8\), avem \(7,84 < 7,85\), ceea ce este adevărat. Deci \(x \le 8\).
