II.15. Compararea Puterilor

Pentru a compara puterile, vom folosi regulile de bază care ne permit să tragem concluzii în funcție de baze sau exponenți egali, sau prin aducerea puterilor la o formă comună.

A. Compararea puterilor cu aceeași bază

Pasul 1: Identificarea puterilor

Produsul de 6 factori de 2 este \( 2^6 \), iar produsul de 4 factori de 2 este \( 2^4 \). Deoarece bazele sunt egale (\( 2 = 2 \)), comparăm exponenții.

Pasul 2: Compararea

Știm că \( 6 > 4 \), deci \( 2^6 > 2^4 \). \[ \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{6 factori}} > \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{4 factori}} \] Numărul mai mic dintre \( 2^6 \) și \( 2^4 \) este \( 2^4 \).

B. Compararea puterilor cu același exponent

Pasul 1: Identificarea puterilor

Avem \( 2^6 \) și \( 3^6 \). Exponenții sunt egali (\( 6 = 6 \)), deci comparăm bazele.

Pasul 2: Compararea

Deoarece \( 2 < 3 \), rezultă că \( 2^6 < 3^6 \). \[ \underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{\text{6 factori}} < \underbrace{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}_{\text{6 factori}} \] Numărul mai mare dintre \( 2^6 \) și \( 3^6 \) este \( 3^6 \).

C. Aducerea la aceeași bază

Pasul 1: Scrierea lui \( 4^{10} \) cu baza 2

Știm că \( 4 = 2^2 \). Folosind regula de ridicare a unei puteri la o altă putere \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \), avem: \[ 4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{2 \cdot 10} = 2^{20} \]

Pasul 2: Compararea

Acum comparăm \( 2^{18} \) cu \( 2^{20} \). Deoarece \( 18 < 20 \), avem \( 2^{18} < 2^{20} \), deci \( 2^{18} < 4^{10} \). Pentru prima casetă: \( 4^{10} \) (10 factori de 4) înseamnă \( 2^{20} \), iar a doua parte are 18 factori de 2 (\( 2^{18} \)). \[ \underbrace{4 \cdot 4 \cdot \dots \cdot 4}_{\text{10 factori}} > \underbrace{2 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 2}_{\text{18 factori}} \] Semnul pentru \( 2^{18} \square 4^{10} \) este \( < \).

D. Aducerea la același exponent

Pasul 1: Scrierea numerelor cu exponentul 3

Pentru \( 2^9 \), folosim \( 9 = 3 \cdot 3 \), deci \( 2^9 = (2^3)^3 = 8^3 \). Pentru \( 3^6 \), folosim \( 6 = 2 \cdot 3 \), deci \( 3^6 = (3^2)^3 = 9^3 \).

Pasul 2: Compararea rezultatelor

Comparăm \( 8^3 \) cu \( 9^3 \). Deoarece \( 8 < 9 \), rezultă \( 8^3 < 9^3 \), deci \( 2^9 < 3^6 \).

A. \( 2^6 > 2^4 \); numărul mai mic este \( 2^4 \). B. \( 2^6 < 3^6 \); numărul mai mare este \( 3^6 \). C. \( 4^{10} = 2^{20} \); \( 4^{10} > 2^{18} \); \( 2^{18} < 4^{10} \). D. \( 2^9 = 8^3 \); \( 3^6 = 9^3 \); \( 8^3 < 9^3 \Rightarrow 2^9 < 3^6 \).