Cele mai importante aspecte ale lecției
Exemplu: Divizorii comuni ai numerelor \( 12 \) și \( 16 \) sunt \( 1, 2 \) și \( 4 \). Deci, cel mai mare divizor comun este \( (12, 16) = 4 \).
Numere prime între ele: Două numere sunt prime între ele dacă singurul lor divizor comun este \( 1 \).
Exemplu: \( (8, 9) = 1 \), deci \( 8 \) și \( 9 \) sunt prime între ele.
Pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere naturale nenule, urmăm acești pași:
- Divizorii lui 18: \( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
- Divizorii lui 27: \( D_{27} = \{1, 3, 9, 27\} \)
| \( D_{18} \) | 1 | 2 | 3 | 6 | 9 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \( D_{27} \) | 1 | - | 3 | - | 9 | 27 |
Probleme practice
Urmăm pașii algoritmului:
- Divizorii lui 12 sunt: \( D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \).
- Divizorii lui 15 sunt: \( D_{15} = \{1, 3, 5, 15\} \).
- Divizorii comuni sunt: \( \{1, 3\} \).
Cel mai mare divizor comun este 3. Prin urmare, \( (12, 15) = 3 \).
Determinăm divizorii fiecărui număr:
- \( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \)
- \( D_{25} = \{1, 5, 25\} \)
Singurul divizor comun al numerelor 24 și 25 este 1. Deoarece \( (24, 25) = 1 \), numerele 24 și 25 sunt prime între ele.
Știm că \( a + b = 49 \) și \( (a, b) = 7 \).
Deoarece cel mai mare divizor comun este 7, numerele pot fi scrise ca:
\[ a = 7 \cdot x \] \[ b = 7 \cdot y \]unde \( x \) și \( y \) sunt numere naturale prime între ele, adică \( (x, y) = 1 \).
Înlocuim în relația sumei:
\[ 7x + 7y = 49 \implies 7(x + y) = 49 \implies x + y = 7 \]Căutăm numerele naturale \( x \) și \( y \) care adunate dau 7 și sunt prime între ele:
- \( x = 1, y = 6 \implies a = 7 \cdot 1 = 7 \) și \( b = 7 \cdot 6 = 42 \)
- \( x = 2, y = 5 \implies a = 7 \cdot 2 = 14 \) și \( b = 7 \cdot 5 = 35 \)
- \( x = 3, y = 4 \implies a = 7 \cdot 3 = 21 \) și \( b = 7 \cdot 4 = 28 \)
- \( x = 4, y = 3 \implies a = 28 \) și \( b = 21 \)
- \( x = 5, y = 2 \implies a = 35 \) și \( b = 14 \)
- \( x = 6, y = 1 \implies a = 42 \) și \( b = 7 \)
Răspuns: Perechile căutate \( (a, b) \) sunt: \( (7, 42), (14, 35), (21, 28), (28, 21), (35, 14), (42, 7) \).
