Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Relația de divizibilitate arată dacă un număr se împarte exact la altul: \( a \vdots b \iff a = b \cdot c \).
- Divizori improprii: 1 și numărul însuși. Divizori proprii: Toți ceilalți divizori ai numărului.
- Proprietăți de bază: \( a \vdots 1 \), \( 0 \vdots a \) și \( a \vdots a \) pentru orice \( a \in \mathbb{N} \).
- Numere perfecte: Egale cu suma divizorilor lor (fără numărul însuși). Exemplu: \( 6 = 1 + 2 + 3 \).
Numărul natural \( b \) divide numărul natural \( a \) dacă există un număr natural \( c \), astfel încât \( a = b \cdot c \). În acest caz, \( b \) se numește divizor al lui \( a \), iar \( a \) se numește multiplu al lui \( b \).
- \( b \mid a \) – se citește „\( b \) divide pe \( a \)”
- \( a \vdots b \) – se citește „\( a \) se divide cu \( b \)” (sau „\( a \) este divizibil cu \( b \)”)
- \( b \nmid a \) – se citește „\( b \) nu divide pe \( a \)”
- \( a \not\vdots b \) – se citește „\( a \) nu este divizibil cu \( b \)”
Pentru a afla dacă un număr natural \( a \) este divizibil cu un număr natural nenul \( b \), se împarte \( a \) la \( b \):
- Dacă restul este 0, atunci \( a \vdots b \) (împărțirea este exactă).
- Dacă restul este diferit de 0, atunci \( a \not\vdots b \).
- \( 3 \mid 21 \) pentru că \( 21 = 3 \cdot 7 \) (restul împărțirii lui 21 la 3 este 0).
- \( 10 \vdots 2 \) pentru că \( 10 = 2 \cdot 5 \).
- \( 5 \nmid 17 \) deoarece \( 17 : 5 = 3 \) rest 2 (restul nu este 0).
Verificați dacă numărul \( 253 \) este divizibil cu \( 11 \).
Efectuăm împărțirea \( 253 : 11 \):
\[ 253 : 11 = 23 \text{ rest } 0 \]
Deoarece restul este 0, împărțirea este exactă, deci \( 253 \) este divizibil cu \( 11 \) (\( 253 \vdots 11 \) sau \( 11 \mid 253 \)).
Pentru orice număr natural \( a \), sunt adevărate următoarele afirmații:
- Divizibilitatea cu 1: Orice număr natural \( a \) este divizibil cu 1 (\( a \vdots 1 \)).
- Divizibilitatea lui 0: Numărul 0 este divizibil cu orice număr natural \( a \) (\( 0 \vdots a \)).
- Reflexivitatea: Orice număr natural se divide cu el însuși (\( a \mid a \)).
Multiplii unui număr natural \( a \) se obțin prin înmulțirea lui \( a \) cu fiecare număr natural:
\[ M_a = \{0, 1 \cdot a, 2 \cdot a, 3 \cdot a, 4 \cdot a, \dots\} \]
Multiplii numărului 7 sunt:
\[ M_7 = \{0, 7, 14, 21, 28, 35, \dots\} \]
Determinați multiplii lui 13 care sunt cuprinși între 150 și 200.
Împărțim limitele la 13 pentru a găsi factorii corespunzători:
\[ 150 : 13 = 11 \text{ rest } 7 \implies 13 \cdot 11 = 143 \text{ (prea mic)} \]
Cel mai mic multiplu din interval este \( 13 \cdot 12 = 156 \).
Următorii multipli sunt:
- \( 13 \cdot 13 = 169 \)
- \( 13 \cdot 14 = 182 \)
- \( 13 \cdot 15 = 195 \)
- \( 13 \cdot 16 = 208 \text{ (depășește intervalul)} \)
Fie \( a \) un număr natural.
- Numerele \( 1 \) și \( a \) se numesc divizori improprii ai lui \( a \).
- Toți ceilalți divizori ai lui \( a \) se numesc divizori proprii.
Divizorii numărului 12 sunt: \( 1, 2, 3, 4, 6, 12 \).
- Divizorii improprii sunt: \( 1 \) și \( 12 \).
- Divizorii proprii sunt: \( 2, 3, 4, 6 \).
Scrieți toți divizorii numărului 18 și precizați care dintre aceștia sunt divizori proprii.
Mulțimea divizorilor lui 18 este:
\[ D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \]
Divizorii improprii sunt 1 și 18.
Divizorii proprii ai lui 18 sunt: 2, 3, 6 și 9.
- Un divizor comun al numerelor naturale \( a \) și \( b \) este un număr natural \( d \) care divide ambele numere (\( d \mid a \) și \( d \mid b \)).
- Un multiplu comun al numerelor naturale \( a \) și \( b \) este un număr natural \( m \) care este divizibil cu ambele numere (\( m \vdots a \) și \( m \vdots b \)).
- Numărul \( 1 \) este divizor comun al tuturor numerelor naturale.
- Numărul \( 0 \) este multiplu comun al tuturor numerelor naturale.
- Divizorii comuni ai numerelor 18 și 24:
\( D_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
\( D_{24} = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\} \)
Divizorii comuni ai lui 18 și 24 sunt: \( \{1, 2, 3, 6\} \). - Un multiplu comun al numerelor 4 și 6 este 12, deoarece \( 12 \vdots 4 \) și \( 12 \vdots 6 \).
Găsiți cele mai mici trei multipli comuni pozitivi (nenuli) ai numerelor 6 și 8.
Scriem multiplii pozitivi ai fiecărui număr:
\( M_6^* = \{6, 12, 18, \mathbf{24}, 30, 36, 42, \mathbf{48}, 54, 60, 66, \mathbf{72}, \dots\} \)
\( M_8^* = \{8, 16, \mathbf{24}, 32, 40, \mathbf{48}, 56, 64, \mathbf{72}, \dots\} \)
Cei mai mici trei multipli comuni nenuli sunt: 24, 48 și 72.
\( M_6^* = \{6, 12, 18, \mathbf{24}, 30, 36, 42, \mathbf{48}, 54, 60, 66, \mathbf{72}, \dots\} \)
\( M_8^* = \{8, 16, \mathbf{24}, 32, 40, \mathbf{48}, 56, 64, \mathbf{72}, \dots\} \)
Cei mai mici trei multipli comuni nenuli sunt: 24, 48 și 72.
Numere pare: Numerele naturale divizibile cu 2. Ele se pot scrie sub forma:
\[ 2k, \text{ unde } k \in \mathbb{N} \]
Numere impare: Numerele naturale care nu sunt divizibile cu 2. Ele se pot scrie sub forma:
\[ 2k + 1, \text{ unde } k \in \mathbb{N} \]
Numere perfecte: Numere naturale care sunt egale cu suma divizorilor lor (excluzând numărul însuși).
Exemplu: Cel mai mic număr perfect este 6, deoarece \( 6 = 1 + 2 + 3 \).
Exemplu: Cel mai mic număr perfect este 6, deoarece \( 6 = 1 + 2 + 3 \).
Arătați că numărul 28 este un număr perfect.
Găsim toți divizorii lui 28:
\[ D_{28} = \{1, 2, 4, 7, 14, 28\} \]
Excludem numărul însuși (28) și adunăm ceilalți divizori:
\[ 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 \]
Deoarece suma lor este egală cu 28, numărul este perfect.
Probleme propuse
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Verificați dacă afirmațiile de mai jos sunt adevărate (A) sau false (F):
a) \( 7 \mid 42 \)
b) \( 19 \mid 209 \)
c) \( 54 \vdots 25 \)
Verificați dacă afirmațiile de mai jos sunt adevărate (A) sau false (F):
a) \( 7 \mid 42 \)
b) \( 19 \mid 209 \)
c) \( 54 \vdots 25 \)
a) Adevărat, deoarece \( 42 : 7 = 6 \) (rest 0).
b) Adevărat, deoarece \( 209 : 19 = 11 \) (rest 0).
c) Fals, deoarece \( 54 : 25 = 2 \) rest 4 (restul nu este 0).
b) Adevărat, deoarece \( 209 : 19 = 11 \) (rest 0).
c) Fals, deoarece \( 54 : 25 = 2 \) rest 4 (restul nu este 0).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Bunicul vrea să împartă în mod egal 20 de mandarine, 16 mere și 12 banane nepoților săi, fără a le tăia. Care este numărul maxim de nepoți pe care îi poate avea bunicul pentru a realiza această împărțire?
Bunicul vrea să împartă în mod egal 20 de mandarine, 16 mere și 12 banane nepoților săi, fără a le tăia. Care este numărul maxim de nepoți pe care îi poate avea bunicul pentru a realiza această împărțire?
Numărul de nepoți trebuie să fie un divizor comun al numărului de fructe: 20, 16 și 12. Pentru a fi maxim, căutăm cel mai mare divizor comun al acestora.
Scriem divizorii fiecărui număr:
\( D_{20} = \{1, 2, \mathbf{4}, 5, 10, 20\} \)
\( D_{16} = \{1, 2, \mathbf{4}, 8, 16\} \)
\( D_{12} = \{1, 2, 3, \mathbf{4}, 6, 12\} \)
Divizorii comuni sunt: 1, 2 și 4.
Cel mai mare divizor comun este 4.
Răspuns: Numărul maxim de nepoți este 4. (Fiecare va primi 5 mandarine, 4 mere și 3 banane).
Scriem divizorii fiecărui număr:
\( D_{20} = \{1, 2, \mathbf{4}, 5, 10, 20\} \)
\( D_{16} = \{1, 2, \mathbf{4}, 8, 16\} \)
\( D_{12} = \{1, 2, 3, \mathbf{4}, 6, 12\} \)
Divizorii comuni sunt: 1, 2 și 4.
Cel mai mare divizor comun este 4.
Răspuns: Numărul maxim de nepoți este 4. (Fiecare va primi 5 mandarine, 4 mere și 3 banane).
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Arătați că numărul \( n = \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} \) este divizibil cu 37, pentru orice cifre nenule \( a \), \( b \) și \( c \).
Arătați că numărul \( n = \overline{abc} + \overline{bca} + \overline{cab} \) este divizibil cu 37, pentru orice cifre nenule \( a \), \( b \) și \( c \).
Scriem numerele în baza 10:
\[ \overline{abc} = 100a + 10b + c \]
\[ \overline{bca} = 100b + 10c + a \]
\[ \overline{cab} = 100c + 10a + b \]
Adunând cele trei relații obținem:
\[ n = (100a + 10b + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) \]
Grupăm termenii asemenea:
\[ n = a(100 + 1 + 10) + b(10 + 100 + 1) + c(1 + 10 + 100) \]
\[ n = 111a + 111b + 111c \]
Factorizăm prin \( 111 \):
\[ n = 111(a + b + c) \]
Deoarece \( 111 = 37 \cdot 3 \), putem scrie:
\[ n = 37 \cdot 3 \cdot (a + b + c) \]
Deoarece \( n \) este produsul dintre 37 și un alt număr natural, rezultă că \( n \) este divizibil cu 37 (\( n \vdots 37 \)).
