II.15. Compararea Puterilor

Pentru a rezolva acest exercițiu, vom simplifica fiecare expresie din coloana A folosind regulile de calcul cu puteri și apoi le vom compara cu valorile din coloana B. Deoarece \( a > 1 \), la baze egale, puterea cu exponentul mai mare este mai mare.

Analiza primei expresii: \( a^3 \cdot a \)

Folosim regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, unde adunăm exponenții \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Reținem că \( a = a^1 \). \[ a^3 \cdot a = a^3 \cdot a^1 = a^{3+1} = a^4 \] Comparând cu coloana B, observăm că rezultatul este exact \( a^4 \). Relația: \( a^3 \cdot a = a^4 \)

Analiza celei de-a doua expresii: \( a^{15} : a : a^6 \)

Efectuăm operațiile de împărțire în ordinea în care apar, scăzând exponenții conform regulii \( a^m : a^n = a^{m-n} \). \[ a^{15} : a^1 = a^{15-1} = a^{14} \] \[ a^{14} : a^6 = a^{14-6} = a^8 \] Acum comparăm \( a^8 \) cu valorile din coloana B. Deoarece \( 2 < 8 < 10 \), avem: \( a^8 > a^2 \) și \( a^8 < a^{10} \). Privind imaginea atașată, această expresie se leagă de \( a^2 \), deci folosim semnul \( > \). Relația: \( a^{15} : a : a^6 > a^2 \)

Analiza celei de-a treia expresii: \( (a \cdot a^3)^2 \)

Mai întâi calculăm produsul din paranteză, apoi ridicăm la putere folosind regula \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \). \[ a^1 \cdot a^3 = a^{1+3} = a^4 \] \[ (a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8 \] Similar cu pasul anterior, \( a^8 \) este mai mic decât \( a^{10} \) din coloana B. Relația: \( (a \cdot a^3)^2 < a^{10} \)

Analiza celei de-a patra expresii: \( a^{12} : a^2 : a^4 \)

Efectuăm împărțirile succesive: \[ a^{12} : a^2 = a^{12-2} = a^{10} \] \[ a^{10} : a^4 = a^{10-4} = a^6 \] Comparăm \( a^6 \) cu valorile din coloana B. Din imagine, această expresie tinde spre \( a^4 \). Deoarece \( 6 > 4 \), avem: Relația: \( a^{12} : a^2 : a^4 > a^4 \)

Analiza celei de-a cincea expresii: \( (a \cdot a^2 \cdot a^3)^2 : (a^5)^2 \)

Calculăm separat deîmpărțitul și împărțitorul: 1. În prima paranteză: \( a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 = a^{1+2+3} = a^6 \). Apoi \( (a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12} \). 2. În a doua paranteză: \( (a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10} \). Efectuăm împărțirea finală: \[ a^{12} : a^{10} = a^{12-10} = a^2 \] Rezultatul este exact \( a^2 \) din coloana B. Relația: \( (a \cdot a^2 \cdot a^3)^2 : (a^5)^2 = a^2 \)

\( a^3 \cdot a = a^4 \Rightarrow a^3 \cdot a = a^4 \) \( a^{15} : a : a^6 = a^8 \Rightarrow a^8 > a^2 \) \( (a \cdot a^3)^2 = a^8 \Rightarrow a^8 < a^{10} \) \( a^{12} : a^2 : a^4 = a^6 \Rightarrow a^6 > a^4 \) \( (a \cdot a^2 \cdot a^3)^2 : (a^5)^2 = a^{12} : a^{10} = a^2 \Rightarrow (a \cdot a^2 \cdot a^3)^2 : (a^5)^2 = a^2 \)