Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- Comparare: Mai mare este numărul cu mai multe cifre. Dacă au același număr de cifre, comparăm de la stânga la dreapta. Exemplu: \( 156 > 98 \); \( 142 < 147 \).
- Rotunjire: Se face la cea mai apropiată aproximare (prin lipsă pentru cifrele finale \( < 5 \), prin adaos pentru cifrele \( \ge 5 \)). Exemplu: 342 se rotunjește la zeci la 340, iar 348 la 350.
- Adunare & Scădere: Suma primelor \( n \) numere consecutive se calculează cu formula lui Gauss: \( [n \cdot (n + 1)] : 2 \). Proba scăderii se face prin adunare: dacă \( a - b = c \), atunci \( a = c + b \).
- Înmulțire & Factor Comun: Distributivitatea înmulțirii ne permite scoaterea factorului comun: \( a \cdot b \pm a \cdot c = a \cdot (b \pm c) \).
- Teorema împărțirii cu rest: Orice împărțire poate fi verificată prin relația \( D = Î \cdot C + R \), unde restul \( R \) este strict mai mic decât împărțitorul \( Î \). Exemplu: \( 23 : 5 = 4 \) rest 3, adică \( 23 = 5 \cdot 4 + 3 \) și \( 3 < 5 \).
Compararea reprezintă stabilirea unei relații de mărime între două numere, folosind simbolurile \( < \), \( > \) sau \( = \).
Reguli de comparare:
- Dintre două numere naturale cu un număr diferit de cifre, este mai mare cel care are mai multe cifre. (Exemplu: \( 306\,798 > 77\,996 \)).
- Dacă numerele au același număr de cifre, le comparăm cifră cu cifră de la stânga la dreapta, până când găsim două cifre diferite pe același ordin. Este mai mare numărul cu cifra mai mare pe acel ordin. (Exemplu: \( 56\,721 < 56\,903 \), deoarece \( 7 < 9 \)).
Scrierea numerelor în ordine crescătoare (de la mic la mare) sau descrescătoare (de la mare la mic) se numește ordonare.
Pe axa numerelor, dintre două numere, cel mai mare se află întotdeauna poziționat la dreapta celuilalt.
Comparați numerele \( 12\,345 \) și \( 12\,354 \).
Ambele numere au câte 5 cifre. Comparând cifră cu cifră de la stânga la dreapta:
zecile de mii: \( 1 = 1 \)
miile: \( 2 = 2 \)
sutele: \( 3 = 3 \)
zecile: \( 4 < 5 \)
Prin urmare, \( 12\,345 < 12\,354 \).
zecile de mii: \( 1 = 1 \)
miile: \( 2 = 2 \)
sutele: \( 3 = 3 \)
zecile: \( 4 < 5 \)
Prin urmare, \( 12\,345 < 12\,354 \).
Numere consecutive sunt numerele alăturate pe axa numerelor. Diferența dintre două numere consecutive este egală cu 1.
Dacă \( n \) și \( n+1 \) sunt consecutive, \( n \) este predecesorul lui \( n+1 \), iar \( n+1 \) este succesorul lui \( n \).
Numărarea elementelor dintr-un interval:
- De la \( a \) la \( b \) (inclusiv \( a \) și \( b \)) avem: \[ b - a + 1 \text{ numere naturale } (a \le n \le b) \]
- De la \( a \) la \( b \) (inclusiv doar un capăt) avem: \[ b - a \text{ numere naturale } (a \le n < b \text{ sau } a < n \le b) \]
- Între \( a \) și \( b \) (exclusiv capetele) avem: \[ b - a - 1 \text{ numere naturale } (a < n < b) \]
Câte numere naturale \( n \) verifică relația \( 20 \le n < 45 \)?
Deoarece intervalul este închis la stânga (\( \ge \)) și deschis la dreapta (\( < \)), aplicăm formula \( b - a \):
Numărul de valori = \( 45 - 20 = 25 \).
Răspuns: 25 de numere.
Numărul de valori = \( 45 - 20 = 25 \).
Răspuns: 25 de numere.
A estima înseamnă a evalua cu aproximație o mărime pe baza unor date incomplete.
Aproximarea prin lipsă la un anumit ordin este cel mai mare număr format din acel ordin, mai mic sau egal cu numărul dat (cifrele de după ordin devin 0).
Aproximarea prin adaos la un anumit ordin este cel mai mic număr format din acel ordin, mai mare sau egal cu numărul dat (cifra ordinului crește cu 1, iar restul devin 0).
Rotunjirea este aproximarea (prin lipsă sau prin adaos) cea mai apropiată de numărul respectiv. Dacă ambele aproximări sunt la fel de apropiate (cifra următoare este 5), se alege aproximarea prin adaos.
Privim cifra aflată imediat la dreapta ordinului la care dorim să facem rotunjirea:
- Dacă această cifră este \( 0, 1, 2, 3 \) sau \( 4 \), rotunjirea coincide cu aproximarea prin lipsă.
- Dacă această cifră este \( 5, 6, 7, 8 \) sau \( 9 \), rotunjirea coincide cu aproximarea prin adaos.
| Numărul | Aproximarea prin lipsă la | Aproximarea prin adaos la | Rotunjirea la | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| zeci | sute | mii | zeci | sute | mii | zeci | sute | mii | |
| 4 266 | 4 260 | 4 200 | 4 000 | 4 270 | 4 300 | 5 000 | 4 270 | 4 300 | 4 000 |
| 24 158 | 24 150 | 24 100 | 24 000 | 24 160 | 24 200 | 25 000 | 24 160 | 24 200 | 24 000 |
| 356 841 | 356 840 | 356 800 | 356 000 | 356 850 | 356 900 | 357 000 | 356 840 | 356 800 | 357 000 |
Determinați cel mai mic număr natural de forma \( \overline{97x8} \) care are rotunjirea la sute egală cu \( 9\,800 \).
Pentru ca rotunjirea la sute să fie prin adaos (\( 9\,700 \rightarrow 9\,800 \)), cifra zecilor, \( x \), trebuie să fie cel puțin 5 (\( x \ge 5 \)).
Cea mai mică valoare pe care o poate lua \( x \) este 5.
Răspuns: Numărul căutat este \( 9\,758 \).
Cea mai mică valoare pe care o poate lua \( x \) este 5.
Răspuns: Numărul căutat este \( 9\,758 \).
Rezultatul adunării se numește sumă (\( S \)), iar numerele care se adună se numesc termeni.
\[ a + b = S \]
Proprietățile adunării:
- Comutativitatea: \( a + b = b + a \)
- Asociativitatea: \( (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Elementul neutru: este 0 (\( a + 0 = 0 + a = a \))
Reguli de paritate:
- \( \text{par} + \text{par} = \text{par} \)
- \( \text{impar} + \text{impar} = \text{par} \)
- \( \text{par} + \text{impar} = \text{impar} \)
Suma lui Gauss (suma primelor \( n \) numere naturale consecutive):
\[ S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = [n \cdot (n + 1)] : 2 \]
Calculați suma: \( S = 11 + 12 + \dots + 30 \).
Putem scrie suma ca diferența a două sume Gauss complete:
\( S = (1 + 2 + \dots + 30) - (1 + 2 + \dots + 10) \)
\( S = [30 \cdot (30 + 1)] : 2 - [10 \cdot (10 + 1)] : 2 \)
\( S = (30 \cdot 31) : 2 - (10 \cdot 11) : 2 \)
\( S = 930 : 2 - 110 : 2 = 465 - 55 = 410 \)
Răspuns: \( S = 410 \).
\( S = (1 + 2 + \dots + 30) - (1 + 2 + \dots + 10) \)
\( S = [30 \cdot (30 + 1)] : 2 - [10 \cdot (10 + 1)] : 2 \)
\( S = (30 \cdot 31) : 2 - (10 \cdot 11) : 2 \)
\( S = 930 : 2 - 110 : 2 = 465 - 55 = 410 \)
Răspuns: \( S = 410 \).
Diferența a două numere naturale \( a \) și \( b \), cu \( a \ge b \), este numărul unic \( a - b \). Numărul \( a \) se numește descăzut, iar \( b \) se numește scăzător.
\[ \text{Descăzut } (a) - \text{Scăzător } (b) = \text{Diferență } (d) \]
Proprietăți în raport cu egalități și inegalități (pentru \( c \le a \)):
- Dacă \( a = b \), atunci \( a - c = b - c \)
- Dacă \( a \le b \), atunci \( a - c \le b - c \)
Proba scăderii: se face prin adunare (\( a = d + b \)) sau prin scădere (\( b = a - d \)).
Aflați numărul necunoscut \( x \) din relația: \( 4\,103 - x = 1\,578 \).
Pentru a afla scăzătorul \( x \), scădem diferența din descăzut (proba scăderii):
\( x = 4\,103 - 1\,578 \)
\( x = 2\,525 \)
Răspuns: \( x = 2\,525 \).
\( x = 4\,103 - 1\,578 \)
\( x = 2\,525 \)
Răspuns: \( x = 2\,525 \).
Înmulțirea reprezintă o adunare repetată. Rezultatul se numește produs, iar numerele care se înmulțesc se numesc factori (deînmulțit și înmulțitor).
\[ a \cdot b = P \]
Proprietățile înmulțirii:
- Comutativitatea: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Asociativitatea: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Elementul neutru: este 1 (\( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \))
- Distributivitatea față de adunare și scădere (unde \( b \ge c \)): \[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \] \[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
- Factorul 0: Orice număr înmulțit cu 0 dă produsul 0 (\( a \cdot 0 = 0 \)).
- Produsul este par dacă cel puțin unul dintre factori este par.
- Produsul este impar dacă toți factorii sunt impari.
Calculați cât mai rapid: \( 4 \cdot 19 \cdot 25 \).
Grupăm convenabil factorii folosind comutativitatea și asociativitatea:
\( 4 \cdot 19 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1\,900 \).
\( 4 \cdot 19 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1\,900 \).
Dacă un factor se regăsește în fiecare termen al unei adunări sau scăderi, acesta poate fi „scos” în fața unei paranteze.
\[ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \]
\[ a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c), \text{ unde } b \ge c \]
Calculul expresiei: \( 98 \cdot 105 - 98 \cdot 42 + 98 \)
Scriem pe \( 98 \) ca \( 98 \cdot 1 \) și îl scoatem factor comun: \[ 98 \cdot (105 - 42 + 1) = 98 \cdot 64 = 6\,272 \]
Scriem pe \( 98 \) ca \( 98 \cdot 1 \) și îl scoatem factor comun: \[ 98 \cdot (105 - 42 + 1) = 98 \cdot 64 = 6\,272 \]
Știind că \( a = 15 \) și \( b + c = 200 \), calculați \( a \cdot b + a \cdot c \).
Scoatem pe \( a \) factor comun:
\( a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \)
Înlocuim valorile cunoscute:
\( 15 \cdot 200 = 3\,000 \).
Răspuns: 3 000.
\( a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \)
Înlocuim valorile cunoscute:
\( 15 \cdot 200 = 3\,000 \).
Răspuns: 3 000.
Câtul a două numere naturale \( a \) și \( b \) (\( b \neq 0 \)) este numărul natural \( c \) pentru care \( a = b \cdot c \). Numărul \( a \) este deîmpărțitul, iar \( b \) este împărțitorul.
\[ a : b = c \]
Reguli fundamentale:
- Împărțirea la 0 NU are sens.
- \( 0 : n = 0 \), pentru orice număr natural \( n \neq 0 \).
- Orice număr împărțit la el însuși dă câtul 1 (\( a : a = 1 \), pentru \( a \neq 0 \)).
- Orice număr împărțit la 1 dă numărul însuși (\( a : 1 = a \)).
Efectuați împărțirea \( 27\,542 : 47 \).
Urmăm algoritmul împărțirii scrise în coloană:
1) În \( 275 \) de câte ori intră \( 47 \)? De 5 ori (\( 5 \cdot 47 = 235 \)). Rest: \( 275 - 235 = 40 \).
2) Coborâm pe \( 4 \), obținem \( 404 \). În \( 404 \), \( 47 \) intră de 8 ori (\( 8 \cdot 47 = 376 \)). Rest: \( 404 - 376 = 28 \).
3) Coborâm pe \( 2 \), obținem \( 282 \). În \( 282 \), \( 47 \) intră exact de 6 ori (\( 6 \cdot 47 = 282 \)). Rest: 0.
Câtul este \( 586 \).
1) În \( 275 \) de câte ori intră \( 47 \)? De 5 ori (\( 5 \cdot 47 = 235 \)). Rest: \( 275 - 235 = 40 \).
2) Coborâm pe \( 4 \), obținem \( 404 \). În \( 404 \), \( 47 \) intră de 8 ori (\( 8 \cdot 47 = 376 \)). Rest: \( 404 - 376 = 28 \).
3) Coborâm pe \( 2 \), obținem \( 282 \). În \( 282 \), \( 47 \) intră exact de 6 ori (\( 6 \cdot 47 = 282 \)). Rest: 0.
Câtul este \( 586 \).
Teorema împărțirii cu rest:
Pentru oricare două numere naturale \( D \) (deîmpărțit) și \( Î \) (împărțitor), cu \( Î \neq 0 \), există două numere naturale unice, \( C \) (cât) și \( R \) (rest), astfel încât:
\[ D = Î \cdot C + R \quad \text{și} \quad R < Î \]
Dacă restul împărțirii unui număr la 2 este 0, numărul este par (\( D = 2k \)).
Dacă restul împărțirii unui număr la 2 este 1, numărul este impar (\( D = 2k + 1 \)).
Dacă restul împărțirii unui număr la 2 este 1, numărul este impar (\( D = 2k + 1 \)).
Aflați restul împărțirii numărului \( 50a + 75b + 31 \) la 25.
Scriem numărul sub forma \( 25 \cdot C + R \), unde \( R < 25 \):
\( 50a + 75b + 31 = 25 \cdot (2a) + 25 \cdot (3b) + 25 \cdot 1 + 6 \)
Scoatem pe 25 factor comun:
\( = 25 \cdot (2a + 3b + 1) + 6 \)
Deoarece \( 6 < 25 \), conform teoremei împărțirii cu rest, restul căutat este 6.
\( 50a + 75b + 31 = 25 \cdot (2a) + 25 \cdot (3b) + 25 \cdot 1 + 6 \)
Scoatem pe 25 factor comun:
\( = 25 \cdot (2a + 3b + 1) + 6 \)
Deoarece \( 6 < 25 \), conform teoremei împărțirii cu rest, restul căutat este 6.
Se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde \( ( ) \), apoi cele din parantezele pătrate \( [ ] \), și la final cele din acolade \( \{ \} \).
Se efectuează mai întâi operațiile de ordinul II (înmulțirile și împărțirile), în ordinea scrierii lor (de la stânga la dreapta), apoi operațiile de ordinul I (adunările și scăderile).
Calculați: \( 10 + [5 \cdot 3 - (12 : 3 + 2)] \).
1. Rezolvăm paranteza rotundă: \( 12 : 3 + 2 = 4 + 2 = 6 \).
Expresia devine: \( 10 + [5 \cdot 3 - 6] \).
2. Rezolvăm paranteza pătrată: \( 5 \cdot 3 - 6 = 15 - 6 = 9 \).
Expresia devine: \( 10 + 9 = 19 \).
Răspuns: 19.
Expresia devine: \( 10 + [5 \cdot 3 - 6] \).
2. Rezolvăm paranteza pătrată: \( 5 \cdot 3 - 6 = 15 - 6 = 9 \).
Expresia devine: \( 10 + 9 = 19 \).
Răspuns: 19.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Care este rotunjirea la mii a numărului \( 24\,558 \)? Scrieți, de asemenea, aproximările prin lipsă și prin adaos la mii pentru acest număr.
Numărul se află între \( 24\,000 \) și \( 25\,000 \).
- Aproximarea prin lipsă la mii: \( 24\,000 \)
- Aproximarea prin adaos la mii: \( 25\,000 \)
- Rotunjirea la mii: Deoarece cifra sutelor este 5 (\( \ge 5 \)), rotunjirea se face prin adaos, adică este \( 25\,000 \).
Problema 2 (Medie): Într-o librărie s-au vândut într-o zi 45 de ghiozdane la prețul de 120 de lei bucata și 45 de ghiozdane la prețul de 80 de lei bucata. Calculați cât mai simplu suma totală încasată de librărie.
Suma totală încasată se scrie astfel:
\[ S = 45 \cdot 120 + 45 \cdot 80 \]
Folosind scoaterea factorului comun pentru numărul 45:
\[ S = 45 \cdot (120 + 80) \]
\[ S = 45 \cdot 200 = 9\,000 \text{ lei} \]
Răspuns: Librăria a încasat \( 9\,000 \) de lei.
Problema 3 (Dificilă): Determinați toate numerele naturale care, prin împărțire la 6, dau un rest egal cu jumătatea câtului.
Conform teoremei împărțirii cu rest, avem:
\[ D = 6 \cdot C + R, \quad R < 6 \]
Ni se spune că restul este jumătatea câtului, deci \( R = C : 2 \), adică \( C = 2 \cdot R \).
Înlocuim pe \( C \) în relația teoremei: \[ D = 6 \cdot (2 \cdot R) + R \] \[ D = 12 \cdot R + R = 13 \cdot R \] Deoarece restul trebuie să fie strict mai mic decât împărțitorul (\( R < 6 \)), valorile posibile pentru \( R \) sunt: \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
Calculăm valorile corespunzătoare pentru \( D \):
Înlocuim pe \( C \) în relația teoremei: \[ D = 6 \cdot (2 \cdot R) + R \] \[ D = 12 \cdot R + R = 13 \cdot R \] Deoarece restul trebuie să fie strict mai mic decât împărțitorul (\( R < 6 \)), valorile posibile pentru \( R \) sunt: \( 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).
Calculăm valorile corespunzătoare pentru \( D \):
- Pentru \( R = 0 \Rightarrow D = 13 \cdot 0 = 0 \)
- Pentru \( R = 1 \Rightarrow D = 13 \cdot 1 = 13 \)
- Pentru \( R = 2 \Rightarrow D = 13 \cdot 2 = 26 \)
- Pentru \( R = 3 \Rightarrow D = 13 \cdot 3 = 39 \)
- Pentru \( R = 4 \Rightarrow D = 13 \cdot 4 = 52 \)
- Pentru \( R = 5 \Rightarrow D = 13 \cdot 5 = 65 \)
