Cele mai importante aspecte ale lecției
Puterea \( a^n \): Reprezintă înmulțirea bazei \( a \) de \( n \) ori cu ea însăși. Convenții: \( a^1 = a \) și \( a^0 = 1 \) (\( a \neq 0 \)).
Pătrate perfecte: Numere de forma \( k^2 \). Ultima lor cifră poate fi doar \( 0, 1, 4, 5, 6, 9 \).
Dacă ultima cifră este \( 2, 3, 7, 8 \) sau dacă numărul se află strict între două pătrate perfecte consecutive, acesta nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a unei puteri: Se află împărțind exponentul la perioada de repetare a cifrelor (de regulă 4) și analizând restul obținut.
Pătrate perfecte: Numere de forma \( k^2 \). Ultima lor cifră poate fi doar \( 0, 1, 4, 5, 6, 9 \).
Dacă ultima cifră este \( 2, 3, 7, 8 \) sau dacă numărul se află strict între două pătrate perfecte consecutive, acesta nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a unei puteri: Se află împărțind exponentul la perioada de repetare a cifrelor (de regulă 4) și analizând restul obținut.
Dacă \( a \) și \( n \) sunt numere naturale, cu \( n > 1 \), puterea a \( n \)-a a numărului \( a \) reprezintă produsul a \( n \) factori egali cu \( a \).
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ factori}} \]
unde:
a se numește bază (numărul care se înmulțește cu el însuși);
n se numește exponent (arată de câte ori se înmulțește baza cu ea însăși).
a se numește bază (numărul care se înmulțește cu el însuși);
n se numește exponent (arată de câte ori se înmulțește baza cu ea însăși).
Convenții importante pentru orice număr natural \( a \):
- \( a^0 = 1 \) (pentru orice \( a \neq 0 \))
- \( a^1 = a \)
- \( 0^0 \) nu se definește.
Denumiri speciale:
- \( a^2 \) se citește „\( a \) la pătrat” sau „pătratul lui \( a \)”.
- \( a^3 \) se citește „\( a \) la cub” sau „cubul lui \( a \)”.
Calculați: \( 2^3 \) și \( 5^2 \).
\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)
\( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
Un număr natural se numește pătrat perfect dacă se poate scrie ca puterea a doua a unui număr natural (\( k^2 \)).
Un număr natural se numește cub perfect dacă se poate scrie ca puterea a treia a unui număr natural (\( k^3 \)).
Ultima cifră a pătratului unui număr natural poate fi doar una dintre cifrele: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Tabelul de mai jos corelează ultima cifră a unui număr \( n \) cu ultima cifră a pătratului său \( n^2 \):
| Ultima cifră a lui \( n \) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Ultima cifră a lui \( n^2 \) | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Dacă ultima cifră a unui număr este 2, 3, 7 sau 8, atunci numărul nu este pătrat perfect!
Se determină ultima cifră a numărului. Dacă aceasta aparține mulțimii \(\{2, 3, 7, 8\}\), numărul nu este pătrat perfect.
Arătați că \( d = 5n + 3 \) nu este pătrat perfect, pentru \( n \in \mathbb{N} \).
Rezolvare: Ultima cifră a lui \( 5n \) poate fi doar \( 0 \) sau \( 5 \).
Adunând \( 3 \), ultima cifră a lui \( d = 5n + 3 \) va fi \( 0 + 3 = 3 \) sau \( 5 + 3 = 8 \).
Deoarece ultima cifră este \( 3 \) sau \( 8 \), numărul \( d \) nu este pătrat perfect.
Rezolvare: Ultima cifră a lui \( 5n \) poate fi doar \( 0 \) sau \( 5 \).
Adunând \( 3 \), ultima cifră a lui \( d = 5n + 3 \) va fi \( 0 + 3 = 3 \) sau \( 5 + 3 = 8 \).
Deoarece ultima cifră este \( 3 \) sau \( 8 \), numărul \( d \) nu este pătrat perfect.
Dacă un număr \( N \) se află strict între pătratele a două numere naturale consecutive:
\[ k^2 < N < (k+1)^2 \]
atunci \( N \) nu poate fi pătrat perfect, deoarece între \( k \) și \( k+1 \) nu există alte numere naturale.
Arătați că \( c = 2024^2 - 2024 \) nu este pătrat perfect.
Rezolvare: Scrim numărul sub formă de produs: \( c = 2024(2024 - 1) = 2023 \cdot 2024 \).
Observăm că: \[ 2023^2 < 2023 \cdot 2024 < 2024^2 \] Deoarece \( c \) se află între pătratele consecutive \( 2023^2 \) și \( 2024^2 \), rezultă că \( c \) nu este pătrat perfect.
Rezolvare: Scrim numărul sub formă de produs: \( c = 2024(2024 - 1) = 2023 \cdot 2024 \).
Observăm că: \[ 2023^2 < 2023 \cdot 2024 < 2024^2 \] Deoarece \( c \) se află între pătratele consecutive \( 2023^2 \) și \( 2024^2 \), rezultă că \( c \) nu este pătrat perfect.
Ultima cifră a puterilor unui număr natural se repetă periodic:
- Pentru bazele care se termină în \( 2, 3, 7, 8 \), ultimele cifre se repetă în cicluri de câte 4.
- Pentru bazele care se termină în \( 4, 9 \), ultimele cifre se repetă în cicluri de câte 2.
- Pentru bazele care se termină în \( 0, 1, 5, 6 \), ultima cifră este întotdeauna aceeași (\( 0, 1, 5 \), respectiv \( 6 \)).
- Se determină perioada de repetare a ultimei cifre a bazei \( a \).
- Se împarte exponentul \( n \) la perioada respectivă (de obicei 4).
- Restul împărțirii ne indică poziția cifrei în cadrul ciclului de repetare (dacă restul este 0, se consideră ultima poziție din ciclu).
Determinați ultima cifră a numărului \( 3^{2022} \).
Rezolvare: Calculăm ultimele cifre ale puterilor lui 3:
\( 3^1 \rightarrow 3 \), \( 3^2 \rightarrow 9 \), \( 3^3 \rightarrow 7 \), \( 3^4 \rightarrow 1 \), apoi ciclul se repetă (\( 3, 9, 7, 1 \)) din 4 în 4.
Împărțim exponentul la 4: \( 2022 : 4 = 505 \), rest \( 2 \).
Ultima cifră a lui \( 3^{2022} \) este egală cu a doua cifră din ciclu (corespunzătoare restului 2), adică \( 9 \).
Rezolvare: Calculăm ultimele cifre ale puterilor lui 3:
\( 3^1 \rightarrow 3 \), \( 3^2 \rightarrow 9 \), \( 3^3 \rightarrow 7 \), \( 3^4 \rightarrow 1 \), apoi ciclul se repetă (\( 3, 9, 7, 1 \)) din 4 în 4.
Împărțim exponentul la 4: \( 2022 : 4 = 505 \), rest \( 2 \).
Ultima cifră a lui \( 3^{2022} \) este egală cu a doua cifră din ciclu (corespunzătoare restului 2), adică \( 9 \).
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Calculează valoarea următoarei expresii:
\[ E = 4^3 - 5^2 + 10^1 - 7^0 \]
Calculăm fiecare putere în parte:
- \( 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \)
- \( 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \)
- \( 10^1 = 10 \)
- \( 7^0 = 1 \)
Problema 2 (Medie): Determină ultima cifră a numărului \( A = 2^{2023} + 5^{2024} \).
Calculăm ultima cifră pentru fiecare termen al sumei:
1) Pentru \( 2^{2023} \):
Puterile lui 2 au o perioadă de repetare de 4: \( 2^1 \rightarrow 2, 2^2 \rightarrow 4, 2^3 \rightarrow 8, 2^4 \rightarrow 6 \).
Împărțim exponentul la 4: \( 2023 : 4 = 505 \), rest \( 3 \).
Ultima cifră va fi a treia din ciclu, adică \( U(2^{2023}) = 8 \).
2) Pentru \( 5^{2024} \):
Orice putere nenulă a lui 5 se termină în 5. Deci, \( U(5^{2024}) = 5 \).
3) Suma celor două ultime cifre:
\( U(A) = U(8 + 5) = U(13) = 3 \).
Răspuns: Ultima cifră a numărului \( A \) este 3.
1) Pentru \( 2^{2023} \):
Puterile lui 2 au o perioadă de repetare de 4: \( 2^1 \rightarrow 2, 2^2 \rightarrow 4, 2^3 \rightarrow 8, 2^4 \rightarrow 6 \).
Împărțim exponentul la 4: \( 2023 : 4 = 505 \), rest \( 3 \).
Ultima cifră va fi a treia din ciclu, adică \( U(2^{2023}) = 8 \).
2) Pentru \( 5^{2024} \):
Orice putere nenulă a lui 5 se termină în 5. Deci, \( U(5^{2024}) = 5 \).
3) Suma celor două ultime cifre:
\( U(A) = U(8 + 5) = U(13) = 3 \).
Răspuns: Ultima cifră a numărului \( A \) este 3.
Problema 3 (Dificilă): Arătați că numărul \( N = n^2 + n \) nu este pătrat perfect, pentru orice număr natural nenul \( n \).
Putem scrie numărul \( N \) dându-l pe \( n \) factor comun:
\[ N = n(n + 1) \]
Observăm că \( n \) și \( n + 1 \) sunt două numere naturale consecutive.
Pentru orice număr natural nenul \( n \), au loc inegalitățile stricte: \[ n^2 < n(n + 1) < (n + 1)^2 \] Deoarece \( N \) se află strict între pătratele a două numere naturale consecutive (\( n^2 \) și \( (n+1)^2 \)), acesta nu poate fi pătrat perfect.
Q.E.D. (Demonstrație finalizată)
Pentru orice număr natural nenul \( n \), au loc inegalitățile stricte: \[ n^2 < n(n + 1) < (n + 1)^2 \] Deoarece \( N \) se află strict între pătratele a două numere naturale consecutive (\( n^2 \) și \( (n+1)^2 \)), acesta nu poate fi pătrat perfect.
Q.E.D. (Demonstrație finalizată)
