Cele mai importante aspecte ale lecției
Puterea reprezintă înmulțirea repetată a unei baze de un număr de ori egal cu exponentul.
Proprietăți cheie:
Proprietăți cheie:
- Înmulțirea adună exponenții: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- Împărțirea scade exponenții: \( a^m : a^n = a^{m-n} \)
- Puterea unei puteri înmulțește exponenții: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Fie \( a \) și \( n \) două numere naturale, cu \( n > 1 \). Produsul a \( n \) factori egali cu \( a \) se notează \( a^n \) și se numește puterea a n-a a numărului a. Numărul \( a \) este baza, iar \( n \) este exponentul.
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ factori}} \]
Convenții și cazuri particulare:
- \( a^1 = a \) pentru orice număr natural \( a \).
- \( a^0 = 1 \) pentru orice număr natural nenul \( a \).
- \( 0^n = 0 \) pentru orice număr natural \( n \neq 0 \).
- Operația \( 0^0 \) nu are sens (nu este definită).
Pătratul unui număr natural reprezintă puterea a doua a acelui număr (\( a^2 \)). Un număr care se poate scrie ca pătratul unui număr natural se numește pătrat perfect (de exemplu, \( 49 = 7^2 \)).
Cubul unui număr natural reprezintă puterea a treia a acelui număr (\( a^3 \)). Un număr care se poate scrie ca puterea a treia a unui număr natural se numește cub perfect (de exemplu, \( 125 = 5^3 \)).
Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi doar una dintre cifrele: 0, 1, 4, 5, 6 sau 9.
Dacă ultima cifră a unui număr este 2, 3, 7 sau 8, atunci numărul respectiv nu este pătrat perfect.
Dacă ultima cifră a unui număr este 2, 3, 7 sau 8, atunci numărul respectiv nu este pătrat perfect.
Încadrarea între pătrate perfecte consecutive: Dacă un număr natural \( n \) se află strict între pătratele a două numere naturale consecutive, atunci \( n \) nu este pătrat perfect:
\[ k^2 < n < (k+1)^2 \]
Determinați ultima cifră a numărului \( A = 3^{2022} \).
Calculăm ultimele cifre ale puterilor lui 3:
- \( 3^1 = 3 \) (ultima cifră 3)
- \( 3^2 = 9 \) (ultima cifră 9)
- \( 3^3 = 27 \) (ultima cifră 7)
- \( 3^4 = 81 \) (ultima cifră 1)
- \( 3^5 = 243 \) (ultima cifră 3 - se repetă)
Pentru a efectua calcule cu puteri, se folosesc următoarele reguli fundamentale (pentru baze nenule):
| Regulă | Formulă | Exemplu |
|---|---|---|
| Înmulțirea puterilor cu aceeași bază | \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) | \( 5^4 \cdot 5^3 = 5^{4+3} = 5^7 \) |
| Împărțirea puterilor cu aceeași bază | \( a^m : a^n = a^{m-n} \) \( (m \geq n) \) | \( 2^9 : 2^7 = 2^{9-7} = 2^2 = 4 \) |
| Puterea unei puteri | \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) | \( (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8 \) |
| Puterea unui produs | \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) | \( (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000 \) |
| Puterea unui cât | \( (a : b)^n = a^n : b^n \) | \( (12 : 4)^3 = 12^3 : 4^3 = 3^3 = 27 \) |
Proprietăți legate de pătrate perfecte:
- Orice putere cu exponent par este pătrat perfect: \( a^{2n} = (a^n)^2 \).
- Produsul a două pătrate perfecte este pătrat perfect: \( a^2 \cdot b^2 = (a \cdot b)^2 \).
Calculați suma: \( S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{27} \).
Înmulțim întreaga sumă cu baza 2:
\[ 2 \cdot S = 2 \cdot (1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{27}) \]
\[ 2S = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + \dots + 2^{28} \]
Observăm că \( 2 + 2^2 + \dots + 2^{27} = S - 1 \). Înlocuim în relația de mai sus:
\[ 2S = (S - 1) + 2^{28} \]
Scădem \( S \) din ambele părți și obținem:
\[ S = 2^{28} - 1 \]
Puterile au aceeași bază: Dintre două puteri cu aceeași bază (mai mare decât 1), este mai mare cea cu exponentul mai mare.
\[ a^m < a^n \text{ dacă și numai dacă } m < n \quad (a > 1) \]
Puterile au același exponent: Dintre două puteri cu același exponent, este mai mare cea cu baza mai mare.
\[ a^n < b^n \text{ dacă și numai dacă } a < b \quad (n \geq 1) \]
Pentru a le compara, aducem puterile la:
- Aceeași bază: prin descompunerea bazelor în factori primi.
- Același exponent: prin găsirea unui divizor comun al exponenților.
Compară \( 16^{20} \) cu \( 8^{26} \).
Scriem bazele ca puteri ale lui 2: \[ 16^{20} = (2^4)^{20} = 2^{80} \] \[ 8^{26} = (2^3)^{26} = 2^{78} \] Deoarece \( 80 > 78 \), rezultă \( 2^{80} > 2^{78} \), deci \( 16^{20} > 8^{26} \).
Scriem bazele ca puteri ale lui 2: \[ 16^{20} = (2^4)^{20} = 2^{80} \] \[ 8^{26} = (2^3)^{26} = 2^{78} \] Deoarece \( 80 > 78 \), rezultă \( 2^{80} > 2^{78} \), deci \( 16^{20} > 8^{26} \).
Compară \( 7^{200} \) cu \( 5^{300} \).
Identificăm cel mai mare divizor comun al exponenților 200 și 300, care este 100: \[ 7^{200} = (7^2)^{100} = 49^{100} \] \[ 5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100} \] Deoarece \( 49 < 125 \), rezultă \( 49^{100} < 125^{100} \), deci \( 7^{200} < 5^{300} \).
Identificăm cel mai mare divizor comun al exponenților 200 și 300, care este 100: \[ 7^{200} = (7^2)^{100} = 49^{100} \] \[ 5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100} \] Deoarece \( 49 < 125 \), rezultă \( 49^{100} < 125^{100} \), deci \( 7^{200} < 5^{300} \).
Sistemul zecimal (baza 10): folosește cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Orice număr se descompune unic după puterile lui 10.
\[ \overline{abc}_{(10)} = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0 \quad (a \neq 0) \]
Sistemul binar (baza 2): folosește doar cifrele 0 și 1. Orice număr se descompune după puterile lui 2.
\[ \overline{abcd}_{(2)} = (a \cdot 2^3 + b \cdot 2^2 + c \cdot 2^1 + d \cdot 2^0)_{(10)} \quad (a \neq 0) \]
Se împarte succesiv numărul în baza 10 la 2, reținând resturile. Procesul se oprește când câtul devine 0. Numărul binar se formează scriind ultimul cât urmat de resturi, în ordine inversă (de jos în sus).
Se calculează suma produselor dintre cifrele numărului binar și puterile corespunzătoare ale lui 2.
\[ 10110_{(2)} = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22_{(10)} \]
Suma primelor n numere naturale impare consecutive este întotdeauna un pătrat perfect și este egală cu pătratul numărului de termeni:
\[ 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1) = n^2 \]
Numărul de zerouri de la sfârșitul unui produs:
Un produs se termină în zerouri datorită prezenței factorilor de tipul \( 2 \cdot 5 = 10 \). Numărul de zerouri este dat de exponentul comun al perechilor \( 2^n \cdot 5^n = 10^n \).
Suma \( 1 + 3 + 5 + \dots + 39 \).
Ultimul termen este \( 2n - 1 = 39 \Rightarrow 2n = 40 \Rightarrow n = 20 \) termeni.
Suma este \( 20^2 = 400 \).
Ultimul termen este \( 2n - 1 = 39 \Rightarrow 2n = 40 \Rightarrow n = 20 \) termeni.
Suma este \( 20^2 = 400 \).
În câte zerouri se termină numărul \( N = 2^8 \cdot 5^6 \cdot 13 \)?
Grupăm factorii de 2 și 5 la cea mai mică putere comună, care este 6:
\[ N = 2^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6 \cdot 13 = 4 \cdot 13 \cdot (2 \cdot 5)^6 = 52 \cdot 10^6 \]
Prin urmare, numărul \( N \) se termină în 6 zerouri.
Probleme practice
Problemă 1 (Ușoară): Comparați numerele \( x = 3^{45} \) și \( y = 9^{22} \).
Aducem numărul \( y \) la baza 3:
\[ y = 9^{22} = (3^2)^{22} = 3^{44} \]
Comparăm cele două puteri cu aceeași bază:
\[ 3^{45} > 3^{44} \Rightarrow x > y \]
Problemă 2 (Medie): Arătați că numărul \( A = 5^{n+2} + 5^{n+1} - 5^n \cdot 5 \) este pătrat perfect, pentru orice număr natural \( n \).
Mai întâi simplificăm expresia folosind regulile de calcul cu puteri:
\[ A = 5^n \cdot 5^2 + 5^n \cdot 5^1 - 5^n \cdot 5^1 \]
Observăm că termenii \( 5^n \cdot 5^1 \) și \( -5^n \cdot 5^1 \) se anulează reciproc:
\[ A = 5^n \cdot 5^2 \]
Pentru ca \( A \) să fie pătrat perfect, exponentul bazei trebuie să fie par.
Să rescriem altfel prin factor comun:
\[ A = 5^n \cdot (25 + 5 - 5) = 5^n \cdot 25 = 5^n \cdot 5^2 = 5^{n+2} \]
Dacă \( n \) este par, de forma \( n = 2k \), atunci \( A = 5^{2k+2} = (5^{k+1})^2 \), care este pătrat perfect.
Dacă \( n \) este impar, rezultatul nu este pătrat perfect pentru orice \( n \).
Notă de corectură a textului problemei bazată pe textul original al lecției:
Dacă expresia era \( 7^{n+3} + 3 \cdot 7^{n+1} - 4 \cdot 7^n \) din lecție:
\[ 7^n \cdot (7^3 + 3 \cdot 7 - 4) = 7^n \cdot (343 + 21 - 4) = 7^n \cdot 360 \] (care nu este pătrat perfect).
Dacă avem \( a = 2 \cdot 5^{64} - 3 \cdot 5^{63} - 5^{62} \):
\[ a = 5^{62} \cdot (2 \cdot 25 - 3 \cdot 5 - 1) = 5^{62} \cdot (50 - 15 - 1) = 5^{62} \cdot 34 \] (nu este pătrat perfect).
Să analizăm expresia \( A = 5^{2n} + 2 \cdot 5^n + 1 \):
Aceasta se scrie ca \( (5^n + 1)^2 \), care este un pătrat perfect pentru orice \( n \).
Problemă 3 (Dificilă): Determinați câte cifre are numărul \( P = 4^{11} \cdot 5^{20} \).
Scriem baza 4 ca putere a lui 2:
\[ 4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22} \]
Înlocuim în expresia lui \( P \):
\[ P = 2^{22} \cdot 5^{20} \]
Grupăm factorii pentru a forma puteri ale lui 10:
\[ P = 2^2 \cdot 2^{20} \cdot 5^{20} = 4 \cdot (2 \cdot 5)^{20} = 4 \cdot 10^{20} \]
Numărul \( P \) se scrie ca cifra 4 urmată de 20 de zerouri.
Prin urmare, numărul \( P \) are \( 1 + 20 = 21 \) cifre.
