Cele mai importante aspecte ale lecției
Elemente cheie:
- Înmulțirea: \( \text{factor} \cdot \text{factor} = \text{produs} \).
- Proprietăți:
- Comutativitate: \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Asociativitate: \( (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Element neutru: \( a \cdot 1 = a \)
- Distributivitate: \( a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c \)
- Factorul comun: Permite restrângerea calculelor de tipul \( a \cdot b \pm a \cdot c \) în forma \( a \cdot (b \pm c) \).
- Calcul rapid: La înmulțirea cu puteri ale lui 10 sau numere terminate în zerouri, se folosește adăugarea numărului corespunzător de zerouri la finalul produsului cifrelor semnificative. Exemplu: \( 150 \cdot 30 = 4500 \).
Rezultatul înmulțirii a două sau mai multe numere se numește produs, iar numerele care se înmulțesc se numesc factorii produsului.
Înmulțirea se notează prin simbolul „\(\cdot\)” (punct) sau „\(\times\)” (ori).
\[ a \cdot b = p \]
\(a, b\) = factori; \(p\) = produs
La efectuarea în scris a înmulțirii, numerele se așază unele sub altele, aliniate de la dreapta la stânga (ordin sub ordin). Se înmulțește fiecare cifră a celui de-al doilea factor cu primul factor, decalând rezultatele parțiale spre stânga, apoi se adună.
Înmulțirea în scris a numerelor \(123\) și \(45\):
\[
\begin{array}{r@{\quad}l}
123 & \times \\
45 & \\
\hline
615 & \text{(rezultatul înmulțirii } 5 \cdot 123\text{)} \\
492{\phantom{0}} & \text{(rezultatul înmulțirii } 4 \cdot 123\text{, decalat cu o poziție)} \\
\hline
5535 & \text{(suma rezultatelor parțiale)}
\end{array}
\]
Calculați produsul numerelor \(25\) și \(13\) și precizați care sunt factorii.
Efectuăm înmulțirea:
\[ 25 \cdot 13 = 325 \]
Factorii sunt \(25\) și \(13\), iar produsul este \(325\).
Ordinea factorilor nu modifică produsul:
\[ a \cdot b = b \cdot a \]
Factorii pot fi grupați în moduri diferite, iar rezultatul rămâne același:
\[ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \]
Numărul \(1\) este element neutru pentru înmulțire (nu modifică rezultatul înmulțirii):
\[ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \]
Înmulțirea este distributivă față de adunare și scădere:
\[ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \]
\[ a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c \]
Calculați cât mai simplu produsul \(4 \cdot 19 \cdot 25\), menționând proprietățile utilizate.
Utilizăm comutativitatea pentru a schimba ordinea factorilor și asociativitatea pentru a-i grupa convenabil:
\[ 4 \cdot 19 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 19 = 100 \cdot 19 = 1900 \]
Factorul comun reprezintă un factor care apare în fiecare termen al unei sume sau al unei diferențe de produse.
\[ a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) \]
\[ a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c) \]
unde \(a\) este factorul comun.
Utilizarea factorului comun (procedeul numit „dare în factor comun”) simplifică substanțial calculele complexe.
Calcul rapid folosind factorul comun:
\[ 23 \cdot 74 + 23 \cdot 26 = 23 \cdot (74 + 26) = 23 \cdot 100 = 2300 \]
Calculați prin scoaterea factorului comun: \( 156 \cdot 83 - 156 \cdot 73 \).
Identificăm factorul comun ca fiind \(156\):
\[ 156 \cdot 83 - 156 \cdot 73 = 156 \cdot (83 - 73) = 156 \cdot 10 = 1560 \]
Înmulțirea cu o putere a lui 10 (10, 100, 1000 etc.): se adaugă la sfârșitul numărului atâtea zerouri câte are puterea lui 10.
Exemplu: \( 358 \cdot 10\,000 = 3\,580\,000 \)
Exemplu: \( 358 \cdot 10\,000 = 3\,580\,000 \)
Înmulțirea numerelor terminate în zerouri: se realizează înmulțirea numerelor formate din cifrele nenule, iar la rezultat se adaugă numărul total de zerouri de la sfârșitul ambilor factori.
Exemplu: \( 35\,600 \cdot 260 = 9\,256\,000 \) (calculăm \(356 \cdot 26 = 9256\) și adăugăm cele \(3\) zerouri).
Exemplu: \( 35\,600 \cdot 260 = 9\,256\,000 \) (calculăm \(356 \cdot 26 = 9256\) și adăugăm cele \(3\) zerouri).
Efectuați rapid calculul: \( 1200 \cdot 40 \).
Înmulțim părțile nenule: \( 12 \cdot 4 = 48 \).
Numărul total de zerouri de la sfârșit este \( 2 + 1 = 3 \).
Adăugăm cele 3 zerouri la rezultat: \( 48\,000 \).
Numărul total de zerouri de la sfârșit este \( 2 + 1 = 3 \).
Adăugăm cele 3 zerouri la rezultat: \( 48\,000 \).
Probleme propuse
Problemă 1 (Ușoară): Calculați în cel mai scurt timp produsul:
\[ 432 \cdot 1000 \]
Aplicăm regula de înmulțire cu o putere a lui 10 (adăugăm trei zerouri la sfârșitul numărului 432):
\[ 432 \cdot 1000 = 432\,000 \]
Problemă 2 (Medie): Folosind proprietățile înmulțirii și factorul comun, calculați:
\[ 47 \cdot 135 - 47 \cdot 35 \]
Îl dăm pe \(47\) factor comun:
\[ 47 \cdot 135 - 47 \cdot 35 = 47 \cdot (135 - 35) \]
Efectuăm operația din paranteză:
\[ 47 \cdot 100 = 4700 \]
Problemă 3 (Dificilă): Știind că \( a + b = 23 \) și \( b + c = 31 \), determinați valoarea expresiei:
\[ E = 5 \cdot a + 7 \cdot b + 2 \cdot c \]
Grupăm termenii din expresie pentru a putea folosi sumele date. Observăm că factorul din fața lui \(b\) este \(7\), pe care îl putem scrie ca \(5 + 2\):
\[ E = 5 \cdot a + (5 + 2) \cdot b + 2 \cdot c \]
\[ E = 5 \cdot a + 5 \cdot b + 2 \cdot b + 2 \cdot c \]
Dăm factor comun pe \(5\) pentru primii doi termeni și pe \(2\) pentru următorii doi:
\[ E = 5 \cdot (a + b) + 2 \cdot (b + c) \]
Înlocuim sumele cunoscute \( a + b = 23 \) și \( b + c = 31 \):
\[ E = 5 \cdot 23 + 2 \cdot 31 \]
\[ E = 115 + 62 \]
\[ E = 177 \]
