Cele mai importante aspecte ale lecției
Concluzii cheie:
- O fracție ordinară \(\frac{a}{b}\) descrie raportul dintre numărul de părți luate (\(a\)) dintr-un întreg și numărul total de părți egale în care a fost împărțit întregul (\(b\)).
- Fracțiile pot fi:
- Subunitare (mai mici decât întregul): \(a < b\), exemplu \(\frac{1}{3}\).
- Echiunitare (egale cu întregul): \(a = b\), exemplu \(\frac{5}{5}\).
- Supraunitare (mai mari decât întregul): \(a > b\), exemplu \(\frac{7}{4}\).
- Procentele sunt fracții cu numitorul 100: \(p\% = \frac{p}{100}\).
- Fracțiile echivalente reprezintă aceeași valoare și se recunosc prin egalitatea produselor încrucișate: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\).
Întregul (sau unitatea) reprezintă un obiect complet care urmează să fie împărțit în părți egale (de exemplu: un cerc, un pătrat, un segment).
O parte dintr-un întreg împărțit în părți de mărimi egale se numește unitate fracționară.
O fracție ordinară se scrie sub forma:
\[ \frac{a}{b} \]
unde:
- \( a \) (numărător): indică numărul de părți egale luate din întreg.
- Linia orizontală reprezintă linia de fracție (operația de împărțire).
- \( b \) (numitor): indică în câte părți egale a fost împărțit întregul.
Numitorul \( b \) al unei fracții trebuie să fie întotdeauna diferit de zero (\( b \neq 0 \)), deoarece nu putem împărți un întreg în 0 părți egale!
Fracția \(\frac{3}{4}\) arată că un întreg a fost împărțit în 4 părți egale, iar din acestea s-au selectat sau s-au luat 3 părți.
Scrieți fracția care reprezintă 5 părți luate dintr-un întreg care a fost împărțit în 8 părți egale. Precizați numărătorul și numitorul.
Fracția este \(\frac{5}{8}\).
Numărătorul este \(5\), iar numitorul este \(8\).
Numărătorul este \(5\), iar numitorul este \(8\).
În funcție de relația dintre numărător (\(a\)) și numitor (\(b\)), fracțiile ordinare se clasifică în trei categorii:
| Tipul fracției | Relația dintre termeni | Valoarea față de întreg | Exemple |
|---|---|---|---|
| Subunitară | \(a < b\) (numărătorul este mai mic) | Mai mică decât un întreg (\( < 1 \)) | \(\frac{2}{3}\), \(\frac{5}{8}\), \(\frac{1}{10}\) |
| Echiunitară | \(a = b\) (termenii sunt egali) | Egală cu un întreg (\( = 1 \)) | \(\frac{4}{4}\), \(\frac{9}{9}\), \(\frac{100}{100}\) |
| Supraunitară | \(a > b\) (numărătorul este mai mare) | Mai mare decât un întreg (\( > 1 \)) | \(\frac{5}{2}\), \(\frac{12}{7}\), \(\frac{4}{3}\) |
Determinați tipul următoarelor fracții: a) \(\frac{7}{12}\), b) \(\frac{15}{15}\), c) \(\frac{9}{4}\).
a) \(\frac{7}{12}\) este o fracție subunitară deoarece \(7 < 12\).
b) \(\frac{15}{15}\) este o fracție echiunitară deoarece \(15 = 15\).
c) \(\frac{9}{4}\) este o fracție supraunitară deoarece \(9 > 4\).
b) \(\frac{15}{15}\) este o fracție echiunitară deoarece \(15 = 15\).
c) \(\frac{9}{4}\) este o fracție supraunitară deoarece \(9 > 4\).
Un procent este o fracție ordinară care are numitorul egal cu 100.
\[ p\% = \frac{p}{100} \]
Se citește „p la sută”.
Scrierea \(45\%\) se citește „45 la sută” și reprezintă fracția \(\frac{45}{100}\).
Scrieți sub formă de fracție ordinară procentele: a) \(13\%\), b) \(100\%\).
a) \(13\% = \frac{13}{100}\)
b) \(100\% = \frac{100}{100}\) (reprezintă exact un întreg complet).
b) \(100\% = \frac{100}{100}\) (reprezintă exact un întreg complet).
Fracțiile care reprezintă aceeași parte din întreg se numesc fracții echivalente (sau egale).
Două fracții \(\frac{a}{b}\) și \(\frac{c}{d}\) sunt echivalente dacă și numai dacă produsele pe diagonală sunt egale:
\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]
Fracțiile \(\frac{1}{2}\) și \(\frac{2}{4}\) sunt echivalente deoarece:
\[ 1 \cdot 4 = 2 \cdot 2 = 4 \]
Verificați dacă fracțiile \(\frac{3}{5}\) și \(\frac{9}{15}\) sunt echivalente.
Calculăm produsele încrucișate (pe diagonală):
\(3 \cdot 15 = 45\)
\(5 \cdot 9 = 45\)
Deoarece ambele produse sunt egale cu 45, fracțiile sunt echivalente: \(\frac{3}{5} = \frac{9}{15}\).
\(3 \cdot 15 = 45\)
\(5 \cdot 9 = 45\)
Deoarece ambele produse sunt egale cu 45, fracțiile sunt echivalente: \(\frac{3}{5} = \frac{9}{15}\).
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Clasificați următoarele fracții în subunitare, echiunitare și supraunitare: \[ \frac{3}{8}, \quad \frac{11}{5}, \quad \frac{7}{7}, \quad \frac{1}{6}, \quad \frac{25}{24} \]
Clasificați următoarele fracții în subunitare, echiunitare și supraunitare: \[ \frac{3}{8}, \quad \frac{11}{5}, \quad \frac{7}{7}, \quad \frac{1}{6}, \quad \frac{25}{24} \]
Analizăm relația dintre numărător și numitor pentru fiecare caz în parte:
- \(\frac{3}{8}\) este fracție subunitară, deoarece \(3 < 8\).
- \(\frac{11}{5}\) este fracție supraunitară, deoarece \(11 > 5\).
- \(\frac{7}{7}\) este fracție echiunitară, deoarece \(7 = 7\).
- \(\frac{1}{6}\) este fracție subunitară, deoarece \(1 < 6\).
- \(\frac{25}{24}\) este fracție supraunitară, deoarece \(25 > 24\).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Determinați toate numerele naturale \(x\) pentru care fracția \(\frac{x + 3}{9}\) este subunitară.
Determinați toate numerele naturale \(x\) pentru care fracția \(\frac{x + 3}{9}\) este subunitară.
O fracție este subunitară dacă numărătorul este mai mic decât numitorul:
\[ x + 3 < 9 \]
Scădem 3 din ambele părți ale inegalității:
\[ x < 9 - 3 \]
\[ x < 6 \]
Deoarece \(x\) este un număr natural, valorile posibile pentru \(x\) sunt:
\[ x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \]
Problema 3 (Dificultate: Medie)
Determinați numărul natural \(n\) pentru care fracția \(\frac{3n + 2}{17}\) este echiunitară.
Determinați numărul natural \(n\) pentru care fracția \(\frac{3n + 2}{17}\) este echiunitară.
O fracție este echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul:
\[ 3n + 2 = 17 \]
Rezolvăm ecuația pentru a-l găsi pe \(n\):
\[ 3n = 17 - 2 \]
\[ 3n = 15 \]
\[ n = 15 : 3 \]
\[ n = 5 \]
Răspuns: Numărul natural căutat este \(n = 5\).
Problema 4 (Dificultate: Dificilă)
Găsiți numărul natural \(y\) pentru care fracțiile \(\frac{y - 2}{4}\) și \(\frac{15}{20}\) sunt echivalente.
Găsiți numărul natural \(y\) pentru care fracțiile \(\frac{y - 2}{4}\) și \(\frac{15}{20}\) sunt echivalente.
Pentru ca fracțiile să fie echivalente, trebuie să se verifice egalitatea produselor pe diagonală:
\[ (y - 2) \cdot 20 = 4 \cdot 15 \]
Efectuăm calculele:
\[ (y - 2) \cdot 20 = 60 \]
Împărțim ambele părți la 20:
\[ y - 2 = 60 : 20 \]
\[ y - 2 = 3 \]
Aflăm valoarea lui \(y\):
\[ y = 3 + 2 \]
\[ y = 5 \]
Verificare: Dacă \(y = 5\), prima fracție devine \(\frac{5 - 2}{4} = \frac{3}{4}\). Verificăm dacă \(\frac{3}{4} = \frac{15}{20}\): \(3 \cdot 20 = 60\) și \(4 \cdot 15 = 60\). Egalitatea este adevărată.
Răspuns: \(y = 5\).
Răspuns: \(y = 5\).
