V.11. Împărțirea Fracțiilor Ordinare

Noțiuni teoretice utilizate

Pentru rezolvarea acestor exerciții, vom aplica următoarele reguli: - Ordinea efectuării operațiilor: se rezolvă mai întâi parantezele, apoi înmulțirile și împărțirile în ordinea în care apar (de la stânga la dreapta). - Împărțirea fracțiilor: se înmulțește prima fracție cu inversa celei de-a doua: \( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \). - Adunarea și scăderea fracțiilor: necesită aducerea la un numitor comun.

a) \( \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{6} \)

Efectuăm împărțirile succesive de la stânga la dreapta: \[ \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{3}{2} \] Acum împărțim rezultatul la \( \frac{1}{6} \): \[ \frac{3}{2} : \frac{1}{6} = \frac{3}{\cancel{2}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^3}{1} = \frac{3 \cdot 3}{1} = 9 \]

b) \( \frac{1}{2} : \left( \frac{1}{3} : \frac{1}{6} \right) \)

Efectuăm mai întâi operația din paranteză: \[ \frac{1}{3} : \frac{1}{6} = \frac{1}{\cancel{3}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^2}{1} = 2 \] Apoi efectuăm împărțirea finală: \[ \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{2} : \frac{2}{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

c) \( \frac{1}{2} : \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) \)

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6, amplificând prima fracție cu 2: \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} \] Simplificăm fracția \( \frac{3}{6} \) prin 3 și obținem \( \frac{1}{2} \). Calculăm: \[ \frac{1}{2} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 \]

d) \( \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) : \frac{1}{6} \)

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} \] Efectuăm împărțirea: \[ \frac{5}{6} : \frac{1}{6} = \frac{5}{\cancel{6}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^1}{1} = 5 \]

e) \( \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) : \frac{1}{6} \)

Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6: \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] Efectuăm împărțirea: \[ \frac{1}{6} : \frac{1}{6} = \frac{1}{\cancel{6}_1} \cdot \frac{\cancel{6}^1}{1} = 1 \]

f) \( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6} \)

Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei: \[ \frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{1}{6 \cdot 6} = \frac{1}{36} \]

Concluzie

Am obținut rezultatul egal cu 1 la subpunctele c) și e).

a) \( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{1} = \frac{3}{\cancel{2}} \cdot \cancel{6}^3 = 9 \) b) \( \frac{1}{2} : (\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{1}) = \frac{1}{2} : 2 = \frac{1}{4} \) c) \( \frac{1}{2} : (\frac{2}{6} + \frac{1}{6}) = \frac{1}{2} : \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} = 1 \) d) \( (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) \cdot \frac{6}{1} = \frac{5}{6} \cdot 6 = 5 \) e) \( (\frac{3}{6} - \frac{2}{6}) \cdot \frac{6}{1} = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1 \) f) \( \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{1}{36} \) Rezultatul 1 la c) și e).