V.6. Aplic

Reguli pentru adunarea și scăderea fracțiilor

Pentru a rezolva aceste exerciții, vom respecta următoarele etape: - Numitor comun: Dacă fracțiile au numitori diferiți, le aducem la același numitor folosind cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.). - Efectuarea operațiilor: Adunăm sau scădem numărătorii obținuți și păstrăm numitorul comun. - Simplificarea: Rezultatul final trebuie scris ca fracție ireductibilă (împărțim numărătorul și numitorul la c.m.m.d.c.-ul lor).

a) \( \frac{2}{7} + \frac{12}{7} \)

Numitorii sunt egali, deci adunăm direct numărătorii: \[ \frac{2 + 12}{7} = \frac{14}{7} \] Simplificăm prin 7: \[ \frac{\cancel{14}^2}{\cancel{7}_1} = 2 \]

b) \( \frac{6}{5} + \frac{2}{25} \)

Numitorul comun este 25. Amplificăm prima fracție cu 5: \[ \overset{5)}{\frac{6}{5}} + \frac{2}{25} = \frac{30 + 2}{25} = \frac{32}{25} \]

c) \( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \)

Numitorul comun este \( 2 \cdot 3 = 6 \). Amplificăm corespunzător: \[ \overset{3)}{\frac{3}{2}} + \overset{2)}{\frac{2}{3}} = \frac{9 + 4}{6} = \frac{13}{6} \]

d) \( \frac{1}{6} + \frac{3}{4} \)

Căutăm c.m.m.m.c.(6, 4) = 12. \[ \overset{2)}{\frac{1}{6}} + \overset{3)}{\frac{3}{4}} = \frac{2 + 9}{12} = \frac{11}{12} \]

e) \( \frac{2}{15} + \frac{3}{10} \)

Căutăm c.m.m.m.c.(15, 10) = 30. \[ \overset{2)}{\frac{2}{15}} + \overset{3)}{\frac{3}{10}} = \frac{4 + 9}{30} = \frac{13}{30} \]

f) \( \frac{5}{9} + \frac{4}{3} \)

Numitorul comun este 9. Amplificăm a doua fracție cu 3: \[ \frac{5}{9} + \overset{3)}{\frac{4}{3}} = \frac{5 + 12}{9} = \frac{17}{9} \]

g) \( \frac{2}{5} + \frac{3}{11} \)

Numitorul comun este 55. \[ \overset{11)}{\frac{2}{5}} + \overset{5)}{\frac{3}{11}} = \frac{22 + 15}{55} = \frac{37}{55} \]

h) \( \frac{3}{10} + \frac{7}{6} \)

c.m.m.m.c.(10, 6) = 30. \[ \overset{3)}{\frac{3}{10}} + \overset{5)}{\frac{7}{6}} = \frac{9 + 35}{30} = \frac{44}{30} \] Simplificăm prin 2: \[ \frac{44^{(2}}{30} = \frac{22}{15} \]

i) \( \frac{2}{3} + \frac{5}{6} + \frac{1}{3} \)

Putem aduna mai întâi fracțiile cu același numitor: \[ \left( \frac{2}{3} + \frac{1}{3} \right) + \frac{5}{6} = \frac{3}{3} + \frac{5}{6} = 1 + \frac{5}{6} = \frac{6 + 5}{6} = \frac{11}{6} \]

j) \( \frac{3}{18} + \frac{2}{6} + \frac{5}{3} \)

Simplificăm prima fracție prin 3 și pe a doua prin 2: \[ \frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = \frac{1}{6} + \frac{6}{3} = \frac{1}{6} + 2 = \frac{1 + 12}{6} = \frac{13}{6} \]

k) \( \frac{1}{2} + \frac{5}{7} + \frac{4}{5} \)

Numitorul comun este \( 2 \cdot 7 \cdot 5 = 70 \). \[ \overset{35)}{\frac{1}{2}} + \overset{10)}{\frac{5}{7}} + \overset{14)}{\frac{4}{5}} = \frac{35 + 50 + 56}{70} = \frac{141}{70} \]

l) \( \frac{2}{6} + \frac{2}{15} + \frac{4}{10} \)

Simplificăm: \( \frac{1}{3} + \frac{2}{15} + \frac{2}{5} \). Numitorul comun este 15. \[ \overset{5)}{\frac{1}{3}} + \frac{2}{15} + \overset{3)}{\frac{2}{5}} = \frac{5 + 2 + 6}{15} = \frac{13}{15} \]

m) \( \frac{13}{15} - \frac{7}{15} \)

\[ \frac{13 - 7}{15} = \frac{6}{15} = \frac{6^{(3}}{15} = \frac{2}{5} \]

n) \( \frac{20}{25} - \frac{14}{25} \)

\[ \frac{20 - 14}{25} = \frac{6}{25} \]

o) \( \frac{7}{5} - \frac{7}{15} \)

Numitor comun 15. \[ \overset{3)}{\frac{7}{5}} - \frac{7}{15} = \frac{21 - 7}{15} = \frac{14}{15} \]

p) \( \frac{1}{4} - \frac{2}{9} \)

Numitor comun 36. \[ \overset{9)}{\frac{1}{4}} - \overset{4)}{\frac{2}{9}} = \frac{9 - 8}{36} = \frac{1}{36} \]

q) \( \frac{7}{30} - \frac{7}{45} \)

c.m.m.m.c.(30, 45) = 90. \[ \overset{3)}{\frac{7}{30}} - \overset{2)}{\frac{7}{45}} = \frac{21 - 14}{90} = \frac{7}{90} \]

r) \( \frac{2}{7} - \frac{4}{21} \)

\[ \overset{3)}{\frac{2}{7}} - \frac{4}{21} = \frac{6 - 4}{21} = \frac{2}{21} \]

s) \( \frac{9}{10} - \frac{2}{3} \)

\[ \overset{3)}{\frac{9}{10}} - \overset{10)}{\frac{2}{3}} = \frac{27 - 20}{30} = \frac{7}{30} \]

ș) \( \frac{5}{12} - \frac{7}{18} \)

c.m.m.m.c.(12, 18) = 36. \[ \overset{3)}{\frac{5}{12}} - \overset{2)}{\frac{7}{18}} = \frac{15 - 14}{36} = \frac{1}{36} \]

t) \( \frac{15}{8} - \frac{3}{8} - \frac{5}{8} \)

\[ \frac{15 - 3 - 5}{8} = \frac{12 - 5}{8} = \frac{7}{8} \]

ț) \( \frac{37}{24} - \frac{7}{12} - \frac{3}{4} \)

Numitor comun 24. \[ \frac{37}{24} - \overset{2)}{\frac{7}{12}} - \overset{6)}{\frac{3}{4}} = \frac{37 - 14 - 18}{24} = \frac{23 - 18}{24} = \frac{5}{24} \]

u) \( \frac{4}{3} - \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \)

Numitor comun 30. \[ \overset{10)}{\frac{4}{3}} - \overset{6)}{\frac{3}{5}} - \overset{15)}{\frac{1}{2}} = \frac{40 - 18 - 15}{30} = \frac{22 - 15}{30} = \frac{7}{30} \]

v) \( \frac{7}{15} - \frac{5}{24} - \frac{4}{18} \)

c.m.m.m.c.(15, 24, 18). Descompunem: \( 15=3 \cdot 5 \), \( 24=2^3 \cdot 3 \), \( 18=2 \cdot 3^2 \). c.m.m.m.c. = \( 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360 \). \[ \overset{24)}{\frac{7}{15}} - \overset{15)}{\frac{5}{24}} - \overset{20)}{\frac{4}{18}} = \frac{168 - 75 - 80}{360} = \frac{93 - 80}{360} = \frac{13}{360} \]

a) \(\frac{14}{7}=2\); b) \(\frac{30+2}{25}=\frac{32}{25}\); c) \(\frac{9+4}{6}=\frac{13}{6}\); d) \(\frac{2+9}{12}=\frac{11}{12}\); e) \(\frac{4+9}{30}=\frac{13}{30}\); f) \(\frac{5+12}{9}=\frac{17}{9}\); g) \(\frac{22+15}{55}=\frac{37}{55}\); h) \(\frac{9+35}{30}=\frac{44}{30}=\frac{22}{15}\); i) \(\frac{4+5+2}{6}=\frac{11}{6}\); j) \(\frac{1+2+10}{6}=\frac{13}{6}\); k) \(\frac{35+50+56}{70}=\frac{141}{70}\); l) \(\frac{5+2+6}{15}=\frac{13}{15}\); m) \(\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\); n) \(\frac{6}{25}\); o) \(\frac{21-7}{15}=\frac{14}{15}\); p) \(\frac{9-8}{36}=\frac{1}{36}\); q) \(\frac{21-14}{90}=\frac{7}{90}\); r) \(\frac{6-4}{21}=\frac{2}{21}\); s) \(\frac{27-20}{30}=\frac{7}{30}\); ș) \(\frac{15-14}{36}=\frac{1}{36}\); t) \(\frac{7}{8}\); ț) \(\frac{37-14-18}{24}=\frac{5}{24}\); u) \(\frac{40-18-15}{30}=\frac{7}{30}\); v) \(\frac{168-75-80}{360}=\frac{13}{360}\).