Aplic

Lecția V.6 conține următoarele grupuri de exerciții:

V.6. Aplic V.6. Mate Practică

Alege rezolvarea exercițiului:

a)
\[ 1 + \frac{2}{7} = \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = \frac{9}{7} \]
b)
\[ \frac{6}{5} - \frac{10^{(5}}{25} = \frac{6}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \]
c)
\[ 1\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6} \]
d)
\[ 3\frac{1}{2} + 2\frac{2}{5} = \frac{7}{2} + \frac{12}{5} = \frac{35}{10} + \frac{24}{10} = \frac{59}{10} \]
e)
\[ 3 + \frac{7}{15} = \frac{45}{15} + \frac{7}{15} = \frac{52}{15} \]
f)
\[ 10 - \frac{10}{3} = \frac{30}{3} - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \]
g)
\[ \frac{4}{5} + 2\frac{3}{10} = \frac{8}{10} + \frac{23}{10} = \frac{31}{10} \]
h)
\[ 1\frac{1}{4} + 3\frac{1}{9} = \frac{5}{4} + \frac{28}{9} = \frac{45}{36} + \frac{112}{36} = \frac{157}{36} \]
i)
\[ 2\frac{1}{3} + \frac{3}{2} = \frac{7}{3} + \frac{3}{2} = \frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{23}{6} \]
j)
\[ 9 - \frac{1}{6} = \frac{54}{6} - \frac{1}{6} = \frac{53}{6} \]
k)
\[ 4\frac{5}{12} - \frac{65}{18} = \frac{53}{12} - \frac{65}{18} = \frac{159}{36} - \frac{130}{36} = \frac{29}{36} \]
l)
\[ 3\frac{1}{7} - 2\frac{1}{4} = \frac{22}{7} - \frac{9}{4} = \frac{88}{28} - \frac{63}{28} = \frac{25}{28} \]
m)
\[ \frac{20^{(5}}{25} + \frac{1}{4} = \frac{4}{5} + \frac{1}{4} = \frac{16}{20} + \frac{5}{20} = \frac{21}{20} \]
n)
\[ 5 - \frac{12}{5} = \frac{25}{5} - \frac{12}{5} = \frac{13}{5} \]
o)
\[ \frac{17}{6} - 2\frac{1}{16} = \frac{17}{6} - \frac{33}{16} = \frac{136}{48} - \frac{99}{48} = \frac{37}{48} \]
p)
\[ 5\frac{2}{9} - 3\frac{1}{45} = \frac{47}{9} - \frac{136}{45} = \frac{235}{45} - \frac{136}{45} = \frac{99^{(9}}{45} = \frac{11}{5} \]

Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare
Pentru a rezolva aceste exerciții, vom respecta următoarele reguli:
1. Transformăm numerele mixte în fracții supraunitare folosind formula \( a\frac{b}{n} = \frac{a \cdot n + b}{n} \).
2. Scriem numerele naturale sub formă de fracție cu numitorul 1 (\( n = \frac{n}{1} \)).
3. Simplificăm fracțiile acolo unde este posibil pentru a lucra cu numere mai mici.
4. Aducem fracțiile la același numitor folosind cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.).
5. Efectuăm operația la numărător și păstrăm numitorul comun.
6. Simplificăm rezultatul final până la o fracție ireductibilă.

a) \( 1 + \frac{2}{7} \)
Scriem întregul ca fracție și aducem la același numitor:
\[ \frac{1}{1} + \frac{2}{7} = \overset{7)}{\frac{1}{1}} + \frac{2}{7} = \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = \frac{9}{7} \]

b) \( \frac{6}{5} - \frac{10}{25} \)
Mai întâi simplificăm a doua fracție prin 5: \( \frac{10^{(5}}{25} = \frac{2}{5} \).
\[ \frac{6}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \]

c) \( 1\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \)
Introducem întregul în fracție: \( 1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \).
Aducem la numitorul comun 6:
\[ \overset{3)}{\frac{3}{2}} + \overset{2)}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{6} + \frac{4}{6} = \frac{13}{6} \]

d) \( 3\frac{1}{2} + 2\frac{2}{5} \)
Introducem întregii: \( 3\frac{1}{2} = \frac{7}{2} \); \( 2\frac{2}{5} = \frac{12}{5} \).
Aducem la numitorul comun 10:
\[ \overset{5)}{\frac{7}{2}} + \overset{2)}{\frac{12}{5}} = \frac{35}{10} + \frac{24}{10} = \frac{59}{10} \]

e) \( 3 + \frac{7}{15} \)
\[ \frac{3}{1} + \frac{7}{15} = \overset{15)}{\frac{3}{1}} + \frac{7}{15} = \frac{45}{15} + \frac{7}{15} = \frac{52}{15} \]

f) \( 10 - \frac{10}{3} \)
\[ \frac{10}{1} - \frac{10}{3} = \overset{3)}{\frac{10}{1}} - \frac{10}{3} = \frac{30}{3} - \frac{10}{3} = \frac{20}{3} \]

g) \( \frac{4}{5} + 2\frac{3}{10} \)
Introducem întregii: \( 2\frac{3}{10} = \frac{23}{10} \).
\[ \overset{2)}{\frac{4}{5}} + \frac{23}{10} = \frac{8}{10} + \frac{23}{10} = \frac{31}{10} \]

h) \( 1\frac{1}{4} + 3\frac{1}{9} \)
Introducem întregii: \( 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4} \); \( 3\frac{1}{9} = \frac{28}{9} \).
Numitorul comun este \( 4 \cdot 9 = 36 \).
\[ \overset{9)}{\frac{5}{4}} + \overset{4)}{\frac{28}{9}} = \frac{45}{36} + \frac{112}{36} = \frac{157}{36} \]

i) \( 2\frac{1}{3} + \frac{3}{2} \)
Introducem întregii: \( 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} \).
\[ \overset{2)}{\frac{7}{3}} + \overset{3)}{\frac{3}{2}} = \frac{14}{6} + \frac{9}{6} = \frac{23}{6} \]

j) \( 9 - \frac{1}{6} \)
\[ \overset{6)}{\frac{9}{1}} - \frac{1}{6} = \frac{54}{6} - \frac{1}{6} = \frac{53}{6} \]

k) \( 4\frac{5}{12} - \frac{65}{18} \)
Introducem întregii: \( 4\frac{5}{12} = \frac{53}{12} \).
Căutăm c.m.m.m.c.(12, 18):
\[
\begin{array}{ll|l}
12 & 18 & 2 \\
6 & 9 & 2 \\
3 & 9 & 3 \\
1 & 3 & 3 \\
1 & 1 & \\
\end{array}
\]
\[ [12, 18] = 2^2 \cdot 3^2 = 36 \]
\[ \overset{3)}{\frac{53}{12}} - \overset{2)}{\frac{65}{18}} = \frac{159}{36} - \frac{130}{36} = \frac{29}{36} \]

l) \( 3\frac{1}{7} - 2\frac{1}{4} \)
Introducem întregii: \( \frac{22}{7} - \frac{9}{4} \).
\[ \overset{4)}{\frac{22}{7}} - \overset{7)}{\frac{9}{4}} = \frac{88}{28} - \frac{63}{28} = \frac{25}{28} \]

m) \( \frac{20}{25} + \frac{1}{4} \)
Simplificăm prima fracție: \( \frac{20^{(5}}{25} = \frac{4}{5} \).
\[ \overset{4)}{\frac{4}{5}} + \overset{5)}{\frac{1}{4}} = \frac{16}{20} + \frac{5}{20} = \frac{21}{20} \]

n) \( 5 - \frac{12}{5} \)
\[ \overset{5)}{\frac{5}{1}} - \frac{12}{5} = \frac{25}{5} - \frac{12}{5} = \frac{13}{5} \]

o) \( \frac{17}{6} - 2\frac{1}{16} \)
Introducem întregii: \( 2\frac{1}{16} = \frac{33}{16} \).
Căutăm c.m.m.m.c.(6, 16):
\[
\begin{array}{ll|l}
6 & 16 & 2 \\
3 & 8 & 2 \\
3 & 4 & 2 \\
3 & 2 & 2 \\
3 & 1 & 3 \\
1 & 1 & \\
\end{array}
\]
\[ [6, 16] = 2^4 \cdot 3 = 48 \]
\[ \overset{8)}{\frac{17}{6}} - \overset{3)}{\frac{33}{16}} = \frac{136}{48} - \frac{99}{48} = \frac{37}{48} \]

p) \( 5\frac{2}{9} - 3\frac{1}{45} \)
Introducem întregii: \( \frac{47}{9} - \frac{136}{45} \).
\[ \overset{5)}{\frac{47}{9}} - \frac{136}{45} = \frac{235}{45} - \frac{136}{45} = \frac{99}{45} \]
Simplificăm prin 9: \( \frac{99^{(9}}{45} = \frac{11}{5} \).

Rezolvare pe scurt:

a) \( \frac{7+2}{7} = \frac{9}{7} \); b) \( \frac{6}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4}{5} \); c) \( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} = \frac{9+4}{6} = \frac{13}{6} \);
d) \( \frac{7}{2} + \frac{12}{5} = \frac{35+24}{10} = \frac{59}{10} \); e) \( \frac{45+7}{15} = \frac{52}{15} \); f) \( \frac{30-10}{3} = \frac{20}{3} \);
g) \( \frac{8+23}{10} = \frac{31}{10} \); h) \( \frac{5}{4} + \frac{28}{9} = \frac{45+112}{36} = \frac{157}{36} \); i) \( \frac{7}{3} + \frac{3}{2} = \frac{14+9}{6} = \frac{23}{6} \);
j) \( \frac{54-1}{6} = \frac{53}{6} \); k) \( \frac{53}{12} - \frac{65}{18} = \frac{159-130}{36} = \frac{29}{36} \); l) \( \frac{22}{7} - \frac{9}{4} = \frac{88-63}{28} = \frac{25}{28} \);
m) \( \frac{4}{5} + \frac{1}{4} = \frac{16+5}{20} = \frac{21}{20} \); n) \( \frac{25-12}{5} = \frac{13}{5} \); o) \( \frac{17}{6} - \frac{33}{16} = \frac{136-99}{48} = \frac{37}{48} \);
p) \( \frac{47}{9} - \frac{136}{45} = \frac{235-136}{45} = \frac{99}{45} = \frac{11}{5} \).

Cele mai importante aspecte ale lecției

Numitori egali: Păstrăm numitorul comun și efectuăm operația direct la numărători: $ \frac{5}{7} - \frac{2}{7} = \frac{3}{7} $.
Numitori diferiți: Aducem mai întâi fracțiile la același numitor comun prin amplificare, apoi le adunăm sau le scădem: $ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6} $.
Numere întregi: Orice număr natural $n$ se scrie ca $ \frac{n}{1} $.
Regulă de aur: Simplificați întotdeauna rezultatul final pentru a obține o fracție ireductibilă!

Pentru a aduna sau a scădea două sau mai multe fracții care au același numitor, se adună sau se scad doar numărătorii acestora, iar numitorul comun se păstrează neschimbat.

$Diagramă liniară împărțită în 8 segmente egale. 3 segmente sunt colorate în albastru (reprezentând fracția 3/8), 2 segmente sunt colorate în galben (reprezentând fracția 2/8), iar restul de 3 segmente rămân albe (reprezentând fracția 3/8). Desenul ilustrează vizual adunarea 3/8 + 2/8 = 5/8 și scăderea 8/8 - 5/8 = 3/8.$

Adunarea: \[ \frac{a}{n} + \frac{b}{n} = \frac{a + b}{n} \] unde $a, b, n$ sunt numere naturale și $n \ge 1$

Scăderea: \[ \frac{a}{n} - \frac{b}{n} = \frac{a - b}{n} \] unde $a, b, n$ sunt numere naturale, $a \ge b$ și $n \ge 1$

$ \frac{93}{107} + \frac{13}{107} = \frac{93 + 13}{107} = \frac{106}{107} $
$ \frac{49}{73} - \frac{11}{73} = \frac{49 - 11}{73} = \frac{38}{73} $

Pentru a aduna sau scădea fracții cu numitori diferiți, trebuie mai întâi să le aducem la același numitor (numitorul comun), iar apoi să aplicăm regulile de adunare/scădere pentru fracții cu același numitor.

Se determină un numitor comun, de regulă cel mai mic multiplu comun al numitorilor inițiali.

Se amplifică fiecare fracție pentru a obține noul numitor comun.

Se efectuează adunarea sau scăderea fracțiilor obținute (care au acum același numitor).

Calculați $ \frac{1}{5} + \frac{1}{3} $:

Cel mai mic multiplu comun al numitorilor $5$ și $3$ este $ [5, 3] = 15 $.
Amplificăm prima fracție cu $3$ și pe a doua cu $5$: \[ \stackrel{3)}{ \frac{1}{5} } = \frac{3}{15} \quad \text{și} \quad \stackrel{5)}{ \frac{1}{3} } = \frac{5}{15} \]
Efectuăm adunarea: \[ \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15} \]

Simplificarea fracțiilor: Dacă fracțiile din operație nu sunt ireductibile, este recomandat să le simplificăm înainte de a le aduce la același numitor. De asemenea, rezultatul final trebuie simplificat până devine o fracție ireductibilă.

Operații cu numere întregi: Adunarea sau scăderea dintre un număr natural $n$ și o fracție se realizează scriind numărul natural sub formă de fracție cu numitorul $1$ ($ \frac{n}{1} $).

\[ n \pm \frac{a}{b} = \frac{n \cdot b \pm a}{b} \]

Efectuați calculul $ 2 - \frac{3}{5} $: \[ 2 - \frac{3}{5} = \stackrel{5)}{ \frac{2}{1} } - \frac{3}{5} = \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{7}{5} \]

Probleme practice

Problema 1 (Ușoară): Calculați suma fracțiilor și simplificați rezultatul obținut: \[ \frac{7}{18} + \frac{5}{18} \]

Fracțiile au același numitor, deci adunăm numărătorii: \[ \frac{7}{18} + \frac{5}{18} = \frac{7 + 5}{18} = \frac{12}{18} \] Simplificăm fracția rezultată prin $6$ pentru a o aduce la forma ireductibilă: \[ \frac{12 : 6}{18 : 6} = \frac{2}{3} \] Răspuns: $ \frac{2}{3} $

Problema 2 (Medie): Rezolvați următoarea operație cu fracții care au numitori diferiți: \[ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} \]

Găsim cel mai mic multiplu comun al numitorilor $6$ și $4$: $ [6, 4] = 12 $.
Amplificăm prima fracție cu $2$ și pe a doua cu $3$: \[ \stackrel{2)}{ \frac{5}{6} } = \frac{10}{12} \quad \text{și} \quad \stackrel{3)}{ \frac{1}{4} } = \frac{3}{12} \]
Efectuăm scăderea: \[ \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10 - 3}{12} = \frac{7}{12} \]

Fracția $ \frac{7}{12} $ este deja ireductibilă.
Răspuns: $ \frac{7}{12} $

Problema 3 (Dificilă): Calculați valoarea următoarei expresii, scriind rezultatul sub formă de fracție ireductibilă: \[ 3 - \frac{7}{10} - \frac{4}{5} \]

Scriem numărul întreg $3$ ca fracție cu numitorul $1$: \[ \frac{3}{1} - \frac{7}{10} - \frac{4}{5} \] Numitorul comun pentru $1$, $10$ și $5$ este $10$. Amplificăm corespunzător: \[ \stackrel{10)}{ \frac{3}{1} } - \frac{7}{10} - \stackrel{2)}{ \frac{4}{5} } \] Obținem: \[ \frac{30}{10} - \frac{7}{10} - \frac{8}{10} \] Efectuăm scăderile succesive de la stânga la dreapta: \[ \frac{30 - 7 - 8}{10} = \frac{15}{10} \] Simplificăm rezultatul prin $5$ pentru a obține o fracție ireductibilă: \[ \frac{15 : 5}{10 : 5} = \frac{3}{2} \] Răspuns: $ \frac{3}{2} $

Lecția V.6 conține următoarele grupuri de exerciții:

Alege rezolvarea exercițiului:

Rezolvare scurtă

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

Rezolvare detaliată

Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare

a) \( 1 + \frac{2}{7} \)

b) \( \frac{6}{5} - \frac{10}{25} \)

c) \( 1\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \)

d) \( 3\frac{1}{2} + 2\frac{2}{5} \)

e) \( 3 + \frac{7}{15} \)

f) \( 10 - \frac{10}{3} \)

g) \( \frac{4}{5} + 2\frac{3}{10} \)

h) \( 1\frac{1}{4} + 3\frac{1}{9} \)

i) \( 2\frac{1}{3} + \frac{3}{2} \)

j) \( 9 - \frac{1}{6} \)

k) \( 4\frac{5}{12} - \frac{65}{18} \)

l) \( 3\frac{1}{7} - 2\frac{1}{4} \)

m) \( \frac{20}{25} + \frac{1}{4} \)

n) \( 5 - \frac{12}{5} \)

o) \( \frac{17}{6} - 2\frac{1}{16} \)

p) \( 5\frac{2}{9} - 3\frac{1}{45} \)

Rezolvare pe scurt:

Probleme practice

Învinge tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

Fizică

Chimie

PhotoSolveAI

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste: