Cele mai importante aspecte ale lecției
Metode rapide de comparare a puterilor:
- Baze egale: \( a^m < a^n \iff m < n \) (Exemplu: \( 5^{10} < 5^{12} \)).
- Exponenți egali: \( a^n < b^n \iff a < b \) (Exemplu: \( 4^8 < 5^8 \)).
- Baze și exponenți diferiți:
- Dacă \( a < b \) și \( m < n \), atunci \( a^m < b^n \) (Exemplu: \( 3^{10} < 4^{12} \)).
- Aducerea la aceeași bază: ex. \( 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} \).
- Aducerea la același exponent: ex. \( 5^{20} = (5^2)^{10} = 25^{10} \) și \( 3^{30} = (3^3)^{10} = 27^{10} \).
Dintre două puteri care au bazele egale (și mai mari decât 1), este mai mică puterea care are exponentul mai mic.
\[ a^m < a^n \iff m < n \quad (\text{pentru } a > 1) \]
Să comparăm \( 3^{27} \) cu \( 3^{29} \).
Deoarece bazele sunt egale (\( 3 = 3 \)) și exponentul primei puteri este mai mic decât al celei de-a doua (\( 27 < 29 \)), avem: \[ 3^{27} < 3^{29} \]
Deoarece bazele sunt egale (\( 3 = 3 \)) și exponentul primei puteri este mai mic decât al celei de-a doua (\( 27 < 29 \)), avem: \[ 3^{27} < 3^{29} \]
Comparați puterile: \( 5^{124} \) și \( 5^{142} \).
Bazele fiind egale (\( 5 \)), comparăm exponenții: \( 124 < 142 \).
Prin urmare, \( 5^{124} < 5^{142} \).
Prin urmare, \( 5^{124} < 5^{142} \).
Dintre două puteri care au exponenții egali, este mai mică puterea care are baza mai mică.
\[ a^n < b^n \iff a < b \quad (\text{pentru } n \ge 1) \]
Să comparăm \( 2^{27} \) cu \( 3^{27} \).
Exponenții fiind egali (\( 27 = 27 \)), comparăm bazele. Observăm că \( 2 < 3 \), prin urmare: \[ 2^{27} < 3^{27} \]
Exponenții fiind egali (\( 27 = 27 \)), comparăm bazele. Observăm că \( 2 < 3 \), prin urmare: \[ 2^{27} < 3^{27} \]
Comparați puterile: \( 15^{8} \) și \( 12^{8} \).
Exponenții fiind egali (\( 8 \)), comparăm bazele: \( 15 > 12 \).
Prin urmare, \( 15^{8} > 12^{8} \).
Prin urmare, \( 15^{8} > 12^{8} \).
Când puterile au atât bazele, cât și exponenții diferiți, putem folosi următoarele metode:
A. Păstrarea relației de ordine
Dacă există aceeași relație de ordine între baze și între exponenți, relația se păstrează și pentru puteri.
Să comparăm \( 5^{207} \) cu \( 7^{291} \).
Observăm că \( 5 < 7 \) (baza mai mică) și \( 207 < 291 \) (exponentul mai mic). Astfel, relația se păstrează: \[ 5^{207} < 7^{291} \]
Observăm că \( 5 < 7 \) (baza mai mică) și \( 207 < 291 \) (exponentul mai mic). Astfel, relația se păstrează: \[ 5^{207} < 7^{291} \]
B. Aducerea la aceeași bază
Dacă bazele pot fi scrise ca puteri ale aceluiași număr, le transformăm corespunzător.
Să comparăm \( 16^{20} \) cu \( 8^{26} \).
Scriem ambele baze ca puteri ale lui 2: \[ 16^{20} = (2^4)^{20} = 2^{80} \] \[ 8^{26} = (2^3)^{26} = 2^{78} \] Deoarece \( 80 > 78 \), avem \( 2^{80} > 2^{78} \), deci \( 16^{20} > 8^{26} \).
Scriem ambele baze ca puteri ale lui 2: \[ 16^{20} = (2^4)^{20} = 2^{80} \] \[ 8^{26} = (2^3)^{26} = 2^{78} \] Deoarece \( 80 > 78 \), avem \( 2^{80} > 2^{78} \), deci \( 16^{20} > 8^{26} \).
C. Aducerea la același exponent
Dacă putem găsi un divizor comun pentru exponenți, scriem puterile cu același exponent.
Să comparăm \( 7^{200} \) cu \( 5^{300} \).
Exponenții 200 și 300 se pot scrie în funcție de 100: \[ 7^{200} = (7^2)^{100} = 49^{100} \] \[ 5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100} \] Deoarece \( 49 < 125 \), avem \( 49^{100} < 125^{100} \), deci \( 7^{200} < 5^{300} \).
Exponenții 200 și 300 se pot scrie în funcție de 100: \[ 7^{200} = (7^2)^{100} = 49^{100} \] \[ 5^{300} = (5^3)^{100} = 125^{100} \] Deoarece \( 49 < 125 \), avem \( 49^{100} < 125^{100} \), deci \( 7^{200} < 5^{300} \).
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Comparați numerele:
a) \( 7^{45} \) și \( 7^{54} \)
b) \( 13^{20} \) și \( 11^{20} \)
a) \( 7^{45} \) și \( 7^{54} \)
b) \( 13^{20} \) și \( 11^{20} \)
a) Bazele sunt egale. Comparăm exponenții: \( 45 < 54 \). Deci, \( 7^{45} < 7^{54} \).
b) Exponenții sunt egali. Comparăm bazele: \( 13 > 11 \). Deci, \( 13^{20} > 11^{20} \).
b) Exponenții sunt egali. Comparăm bazele: \( 13 > 11 \). Deci, \( 13^{20} > 11^{20} \).
Problema 2 (Medie): Comparați numerele \( a = 9^{25} \) și \( b = 27^{16} \).
Aducem ambele numere la aceeași bază, 3:
\[ a = 9^{25} = (3^2)^{25} = 3^{50} \]
\[ b = 27^{16} = (3^3)^{16} = 3^{48} \]
Deoarece \( 50 > 48 \), avem \( 3^{50} > 3^{48} \).
Răspuns: \( a > b \) (sau \( 9^{25} > 27^{16} \)).
Răspuns: \( a > b \) (sau \( 9^{25} > 27^{16} \)).
Problema 3 (Medie): Comparați numerele \( x = 2^{100} \) și \( y = 3^{75} \).
Aducem ambele numere la același exponent. Cel mai mare divizor comun al exponenților 100 și 75 este 25.
\[ x = 2^{100} = (2^4)^{25} = 16^{25} \]
\[ y = 3^{75} = (3^3)^{25} = 27^{25} \]
Comparăm bazele obținute: \( 16 < 27 \), deci \( 16^{25} < 27^{25} \).
Răspuns: \( x < y \) (sau \( 2^{100} < 3^{75} \)).
Răspuns: \( x < y \) (sau \( 2^{100} < 3^{75} \)).
Problema 4 (Dificilă): Comparați numerele:
\[ A = 3 \cdot 2^{52} - 5 \cdot 2^{50} \quad \text{și} \quad B = 3^{27} - 3^{25} \]
Mai întâi, simplificăm expresiile dând factor comun puterea cea mai mică:
\[ A = 2^{50} \cdot (3 \cdot 2^2 - 5) = 2^{50} \cdot (12 - 5) = 7 \cdot 2^{50} \]
\[ B = 3^{25} \cdot (3^2 - 1) = 3^{25} \cdot (9 - 1) = 8 \cdot 3^{25} \]
Acum, scriem \( 2^{50} \) ca o putere cu exponentul 25 pentru a o putea compara cu \( 3^{25} \):
\[ 2^{50} = (2^2)^{25} = 4^{25} \]
Înlocuim în expresia lui \( A \):
\[ A = 7 \cdot 4^{25} = 7 \cdot 4 \cdot 4^{24} = 28 \cdot 4^{24} \]
\[ B = 8 \cdot 3^{25} = 8 \cdot 3 \cdot 3^{24} = 24 \cdot 3^{24} \]
Comparăm cele două produse obținute termen cu termen:
- \( 28 > 24 \)
- \( 4^{24} > 3^{24} \)
