II.6.3. Compararea puterilor

Pentru a compara puteri care au baze și exponenți diferiți, încercăm să le aducem la aceeași bază sau la același exponent folosind regulile de calcul cu puteri.

a) \( a = 10^{90} \) și \( b = 5^{126} \)

Analiza bazelor și exponenților

Observăm că numărul \( a \) are baza \( 10 \), care poate fi scrisă ca un produs de factori primi: \( 10 = 2 \cdot 5 \). Astfel, rescriem pe \( a \) folosind regula \( (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n \): \[ a = 10^{90} = (2 \cdot 5)^{90} = 2^{90} \cdot 5^{90} \] Pentru a-l compara cu \( b = 5^{126} \), rescriem și pe \( b \) astfel încât să evidențiem factorul \( 5^{90} \): \[ b = 5^{126} = 5^{90 + 36} = 5^{90} \cdot 5^{36} \]

Compararea factorilor

Compararea numerelor \( a \) și \( b \) se reduce acum la compararea factorilor care diferă: \( a = 5^{90} \cdot 2^{90} \) \( b = 5^{90} \cdot 5^{36} \) Trebuie să comparăm \( 2^{90} \) cu \( 5^{36} \). Căutăm cel mai mare divizor comun pentru exponenții \( 90 \) și \( 36 \), care este \( 18 \). \[ 2^{90} = 2^{5 \cdot 18} = (2^5)^{18} = 32^{18} \] \[ 5^{36} = 5^{2 \cdot 18} = (5^2)^{18} = 25^{18} \] Deoarece \( 32 > 25 \), rezultă că \( 32^{18} > 25^{18} \), deci \( 2^{90} > 5^{36} \). Prin urmare, \( a > b \).

b) \( a = 4^{125} \) și \( b = 10^{50} \cdot 125^{10} \)

Simplificarea expresiilor

Aducem ambele numere la baze formate din factori primi (\( 2 \) și \( 5 \)). Pentru \( a \): \[ a = 4^{125} = (2^2)^{125} = 2^{2 \cdot 125} = 2^{250} \] Pentru \( b \): \[ 10^{50} = (2 \cdot 5)^{50} = 2^{50} \cdot 5^{50} \] \[ 125^{10} = (5^3)^{10} = 5^{3 \cdot 10} = 5^{30} \] \[ b = 2^{50} \cdot 5^{50} \cdot 5^{30} = 2^{50} \cdot 5^{80} \]

Reducerea factorilor comuni

Comparăm \( 2^{250} \) cu \( 2^{50} \cdot 5^{80} \). Putem simplifica ambele părți prin \( 2^{50} \): Rămâne să comparăm \( 2^{200} \) cu \( 5^{80} \). Căutăm un exponent comun. Divizorul comun pentru \( 200 \) și \( 80 \) este \( 40 \). \[ 2^{200} = 2^{5 \cdot 40} = (2^5)^{40} = 32^{40} \] \[ 5^{80} = 5^{2 \cdot 40} = (5^2)^{40} = 25^{40} \] Deoarece \( 32 > 25 \), rezultă \( 32^{40} > 25^{40} \), deci \( 2^{200} > 5^{80} \). Rezultă că \( a > b \).

a)

\( a = (2 \cdot 5)^{90} = 2^{90} \cdot 5^{90} \); \( b = 5^{90} \cdot 5^{36} \). \( 2^{90} = (2^5)^{18} = 32^{18} \); \( 5^{36} = (5^2)^{18} = 25^{18} \). \( 32^{18} > 25^{18} \Rightarrow a > b \).

b)

\( a = 2^{250} \); \( b = 2^{50} \cdot 5^{50} \cdot 5^{30} = 2^{50} \cdot 5^{80} \). Comparăm \( 2^{250} : 2^{50} = 2^{200} \) cu \( 5^{80} \). \( 2^{200} = (2^5)^{40} = 32^{40} \); \( 5^{80} = (5^2)^{40} = 25^{40} \). \( 32^{40} > 25^{40} \Rightarrow a > b \).