IV.3. Aplic

Analiza condițiilor de divizibilitate

Pentru ca numărul de forma \( \overline{5x1y} \) să fie divizibil simultan cu 3 și cu 5, trebuie să respecte criteriile specifice pentru fiecare număr. Deoarece \( x \) și \( y \) sunt cifre, ele pot lua valori din mulțimea \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).

Pasul 1: Aplicarea criteriului de divizibilitate cu 5

Un număr este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. În cazul nostru, ultima cifră este \( y \), deci avem: \[ y \in \{0, 5\} \]

Pasul 2: Aplicarea criteriului de divizibilitate cu 3

Un număr este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale se divide cu 3. Suma cifrelor pentru \( \overline{5x1y} \) este \( 5 + x + 1 + y = 6 + x + y \). Vom analiza fiecare caz posibil pentru \( y \): Cazul 1: Dacă \( y = 0 \) Suma cifrelor devine \( 6 + x + 0 = 6 + x \). Trebuie ca \( (6 + x) \vdots 3 \). Deoarece 6 este deja divizibil cu 3, cifra \( x \) trebuie să fie ea însăși un multiplu de 3: - Dacă \( x = 0 \Rightarrow 6 + 0 = 6 \) (se divide cu 3) - Dacă \( x = 3 \Rightarrow 6 + 3 = 9 \) (se divide cu 3) - Dacă \( x = 6 \Rightarrow 6 + 6 = 12 \) (se divide cu 3) - Dacă \( x = 9 \Rightarrow 6 + 9 = 15 \) (se divide cu 3) Numerele obținute sunt: \( 5010, 5310, 5610, 5910 \). Cazul 2: Dacă \( y = 5 \) Suma cifrelor devine \( 6 + x + 5 = 11 + x \). Trebuie ca \( (11 + x) \vdots 3 \). Căutăm valorile lui \( x \) pentru care \( 11 + x \) este multiplu de 3: - Dacă \( x = 1 \Rightarrow 11 + 1 = 12 \) (se divide cu 3) - Dacă \( x = 4 \Rightarrow 11 + 4 = 15 \) (se divide cu 3) - Dacă \( x = 7 \Rightarrow 11 + 7 = 18 \) (se divide cu 3) Numerele obținute sunt: \( 5115, 5415, 5715 \).

Concluzie

Am determinat toate combinațiile de cifre care respectă ambele criterii de divizibilitate.

\( \overline{5x1y} \vdots 5 \Rightarrow y \in \{0, 5\} \) \( y = 0 \Rightarrow (6 + x) \vdots 3 \Rightarrow x \in \{0, 3, 6, 9\} \Rightarrow 5010, 5310, 5610, 5910 \) \( y = 5 \Rightarrow (11 + x) \vdots 3 \Rightarrow x \in \{1, 4, 7\} \Rightarrow 5115, 5415, 5715 \) Numerele: 5010, 5310, 5610, 5910, 5115, 5415, 5715.