IV.3. Aplic

Analiza condițiilor de divizibilitate

Căutăm cifrele \( x \) și \( y \) astfel încât numerele \( \overline{7x8x} \) și \( \overline{2y1x} \) să fie divizibile cu 3 (suma cifrelor se divide cu 3), dar să nu fie divizibile cu 9 (suma cifrelor nu se divide cu 9). Deoarece ambele numere depind de \( x \), vom determina mai întâi valorile posibile pentru \( x \).

Pasul 1: Determinarea cifrei x din numărul \(\overline{7x8x}\)

Conform criteriului de divizibilitate cu 3, suma cifrelor numărului \( \overline{7x8x} \) trebuie să fie un multiplu de 3. Suma cifrelor este: \( S_1 = 7 + x + 8 + x = 15 + 2x \). Deoarece \( x \) este cifră, \( x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \). Analizăm valorile: - Dacă \( x = 0 \Rightarrow S_1 = 15 + 0 = 15 \). \( 15 \vdots 3 \), dar \( 15 \not\vdots 9 \). (Valid) - Dacă \( x = 1 \Rightarrow S_1 = 15 + 2 = 17 \). \( 17 \not\vdots 3 \). - Dacă \( x = 2 \Rightarrow S_1 = 15 + 4 = 19 \). \( 19 \not\vdots 3 \). - Dacă \( x = 3 \Rightarrow S_1 = 15 + 6 = 21 \). \( 21 \vdots 3 \), dar \( 21 \not\vdots 9 \). (Valid) - Dacă \( x = 4 \Rightarrow S_1 = 15 + 8 = 23 \). \( 23 \not\vdots 3 \). - Dacă \( x = 5 \Rightarrow S_1 = 15 + 10 = 25 \). \( 25 \not\vdots 3 \). - Dacă \( x = 6 \Rightarrow S_1 = 15 + 12 = 27 \). \( 27 \vdots 9 \). (Exclus) - Dacă \( x = 7 \Rightarrow S_1 = 15 + 14 = 29 \). \( 29 \not\vdots 3 \). - Dacă \( x = 8 \Rightarrow S_1 = 15 + 16 = 31 \). \( 31 \not\vdots 3 \). - Dacă \( x = 9 \Rightarrow S_1 = 15 + 18 = 33 \). \( 33 \vdots 3 \), dar \( 33 \not\vdots 9 \). (Valid) Deci, \( x \in \{0, 3, 9\} \).

Pasul 2: Determinarea cifrei y pentru fiecare valoare a lui x

Suma cifrelor numărului \( \overline{2y1x} \) este \( S_2 = 2 + y + 1 + x = 3 + x + y \). Condițiile sunt \( S_2 \vdots 3 \) și \( S_2 \not\vdots 9 \). Cazul 1: \( x = 0 \) \( S_2 = 3 + 0 + y = 3 + y \). - \( y = 0 \Rightarrow S_2 = 3 \) (Valid) - \( y = 3 \Rightarrow S_2 = 6 \) (Valid) - \( y = 6 \Rightarrow S_2 = 9 \) (Se divide cu 9, exclus) - \( y = 9 \Rightarrow S_2 = 12 \) (Valid) Perechi \( (x, y) \): \( (0, 0), (0, 3), (0, 9) \). Cazul 2: \( x = 3 \) \( S_2 = 3 + 3 + y = 6 + y \). - \( y = 0 \Rightarrow S_2 = 6 \) (Valid) - \( y = 3 \Rightarrow S_2 = 9 \) (Se divide cu 9, exclus) - \( y = 6 \Rightarrow S_2 = 12 \) (Valid) - \( y = 9 \Rightarrow S_2 = 15 \) (Valid) Perechi \( (x, y) \): \( (3, 0), (3, 6), (3, 9) \). Cazul 3: \( x = 9 \) \( S_2 = 3 + 9 + y = 12 + y \). - \( y = 0 \Rightarrow S_2 = 12 \) (Valid) - \( y = 3 \Rightarrow S_2 = 15 \) (Valid) - \( y = 6 \Rightarrow S_2 = 18 \) (Se divide cu 9, exclus) - \( y = 9 \Rightarrow S_2 = 21 \) (Valid) Perechi \( (x, y) \): \( (9, 0), (9, 3), (9, 9) \).

Concluzie

Perechile \( (x, y) \) sunt: \( (0, 0), (0, 3), (0, 9), (3, 0), (3, 6), (3, 9), (9, 0), (9, 3), (9, 9) \).

\( \overline{7x8x} \vdots 3, \not\vdots 9 \Rightarrow 15 + 2x \in \{15, 21, 33\} \Rightarrow x \in \{0, 3, 9\} \). Dacă \( x = 0 \Rightarrow 3 + y \in \{3, 6, 12\} \Rightarrow y \in \{0, 3, 9\} \). Dacă \( x = 3 \Rightarrow 6 + y \in \{6, 12, 15\} \Rightarrow y \in \{0, 6, 9\} \). Dacă \( x = 9 \Rightarrow 12 + y \in \{12, 15, 21\} \Rightarrow y \in \{0, 3, 9\} \). Perechi \( (x, y) \): \( (0, 0), (0, 3), (0, 9), (3, 0), (3, 6), (3, 9), (9, 0), (9, 3), (9, 9) \).