Cele mai importante aspecte ale lecției
Teorema împărțirii: \( D = Î \cdot C + R \) (Restul este întotdeauna strict mai mic decât Împărțitorul).
Împărțirea la multipli de 10: Se "taie" atâtea zerouri de la deîmpărțit câte are împărțitorul (10, 100, 1 000).
Ordinea operațiilor: Paranteze rotunde
Împărțirea la multipli de 10: Se "taie" atâtea zerouri de la deîmpărțit câte are împărțitorul (10, 100, 1 000).
Ordinea operațiilor: Paranteze rotunde
( ) \( \rightarrow \) paranteze pătrate [ ] \( \rightarrow \) înmulțiri / împărțiri \( \rightarrow \) adunări / scăderi.
Operația de împărțire ne arată de câte ori un număr (împărțitorul) se cuprinde în alt număr (deîmpărțitul). Dacă cuprinderea nu este exactă, obținem o împărțire cu rest.
Notăm: D = deîmpărțit, Î = împărțitor, C = cât, R = rest.
Regula de aur a împărțirii: Restul trebuie să fie întotdeauna strict mai mic decât împărțitorul (\( R < Î \)).
Teorema împărțirii cu rest
\[ D = Î \cdot C + R \]
unde \( R < Î \)
unde \( R < Î \)
La împărțirea în scris la un număr de două cifre:
- Se consideră primele două cifre ale deîmpărțitului. Dacă numărul format este mai mic decât împărțitorul, se consideră primele trei cifre.
- Se află de câte ori se cuprinde împărțitorul, se scrie rezultatul la cât, iar produsul se scade.
- Lângă restul obținut se coboară următoarea cifră și se repetă procesul. Dacă numărul obținut este mai mic decât împărțitorul, se trece 0 la cât!
Împărțirea cu rest diferit de zero: \( 52 : 13 = 4 \) (rest 0), dar \( 200\ 347 : 63 = 3\ 180 \) (rest 7). Se verifică: \( 7 < 63 \).
Pentru a împărți rapid un număr terminat în zerouri la 10, 100 sau 1 000, se înlătură de la finalul deîmpărțitului atâtea zerouri câte are împărțitorul.
Zecimea unui număr înseamnă împărțirea acelui număr la 10.
Sutimea unui număr înseamnă împărțirea acelui număr la 100.
Miimea unui număr înseamnă împărțirea acelui număr la 1 000.
Împărțirea la 10: \( 27\ 55\cancel{0} : 1\cancel{0} = 2\ 755 \)
Împărțirea la 100: \( 154\ 6\cancel{00} : 1\cancel{00} = 1\ 546 \)
Împărțirea la 1 000: \( 347\ \cancel{000} : 1\ \cancel{000} = 347 \)
Împărțirea la 100: \( 154\ 6\cancel{00} : 1\cancel{00} = 1\ 546 \)
Împărțirea la 1 000: \( 347\ \cancel{000} : 1\ \cancel{000} = 347 \)
Pentru a ne asigura că rezultatul unei operații este corect, efectuăm proba acesteia. De asemenea, probele ne ajută să găsim termeni necunoscuți.
Proba înmulțirii:
\( F_1 \cdot F_2 = P \)
\( F_1 \cdot F_2 = P \)
- Prin înmulțire (comutativitate): \( F_2 \cdot F_1 = P \)
- Prin împărțire: \( P : F_1 = F_2 \) sau \( P : F_2 = F_1 \)
Proba împărțirii (exacte sau cu rest):
\( D : Î = C \) (rest \( R \))
\( D : Î = C \) (rest \( R \))
- Aflarea deîmpărțitului: \( D = C \cdot Î + R \)
- Aflarea împărțitorului: \( Î = (D - R) : C \)
Dacă \( 4\ 329 : 47 = 92 \) (rest 5), verificarea se face astfel:
\[ 92 \cdot 47 + 5 = 4\ 324 + 5 = 4\ 329 \]
Atunci când un exercițiu conține mai multe operații, acestea nu se rezolvă neapărat de la stânga la dreapta. Există reguli stricte de prioritate.
Regula 1: Fără paranteze. Mai întâi se efectuează operațiile de ordinul al II-lea (înmulțirile și împărțirile), iar apoi operațiile de ordinul I (adunările și scăderile), în ordinea în care sunt scrise de la stânga la dreapta.
Regula 2: Cu paranteze. Dacă expresia conține paranteze, acestea schimbă ordinea normală:
- Se efectuează mai întâi operațiile din parantezele rotunde
( ). - După rezolvarea acestora, parantezele pătrate
[ ]devin rotunde, iar operațiile din interiorul lor se rezolvă la rândul lor. - În interiorul oricărei paranteze se respectă mereu regula operațiilor de ordinul I și II.
Rezolvarea expresiei: \( [2\ 543 + (2\ 543 + 2\ 369)] : 35 \)
1. Se calculează paranteza rotundă: \( 2\ 543 + 2\ 369 = 4\ 912 \)
2. Paranteza pătrată devine rotundă: \( (2\ 543 + 4\ 912) : 35 \)
3. Se calculează noua paranteză rotundă: \( 7\ 455 : 35 \)
4. Se obține rezultatul final: \( 213 \)
1. Se calculează paranteza rotundă: \( 2\ 543 + 2\ 369 = 4\ 912 \)
2. Paranteza pătrată devine rotundă: \( (2\ 543 + 4\ 912) : 35 \)
3. Se calculează noua paranteză rotundă: \( 7\ 455 : 35 \)
4. Se obține rezultatul final: \( 213 \)
Probleme practice
Ușoară: Aflați zecimea, apoi sutimea numărului 35 000.
Pentru a afla zecimea, împărțim numărul la 10:
\[ 35\ 000 : 10 = 3\ 500 \]
Pentru a afla sutimea, împărțim numărul la 100:
\[ 35\ 000 : 100 = 350 \]
Medie: Găsiți deîmpărțitul știind că, prin împărțirea sa la 43, se obține câtul 231 și restul 12.
Folosim formula fundamentală a împărțirii cu rest: \( D = Î \cdot C + R \).
\[ D = 43 \cdot 231 + 12 \]
\[ D = 9\ 933 + 12 \]
\[ D = 9\ 945 \]
Răspuns: Deîmpărțitul este 9 945.
Medie: Efectuați respectând ordinea operațiilor: \( 36 \cdot 154 - 9\ 933 : 43 + 12\ 000 \).
Efectuăm mai întâi operațiile de ordinul al II-lea (înmulțirea și împărțirea):
\( 36 \cdot 154 = 5\ 544 \)
\( 9\ 933 : 43 = 231 \)
Rescriem exercițiul cu noile rezultate și efectuăm operațiile de ordinul I de la stânga la dreapta:
\( 5\ 544 - 231 + 12\ 000 = 5\ 313 + 12\ 000 = 17\ 313 \)
\( 36 \cdot 154 = 5\ 544 \)
\( 9\ 933 : 43 = 231 \)
Rescriem exercițiul cu noile rezultate și efectuăm operațiile de ordinul I de la stânga la dreapta:
\( 5\ 544 - 231 + 12\ 000 = 5\ 313 + 12\ 000 = 17\ 313 \)
Dificilă: Compuneți o expresie matematică cu paranteze pentru a rezolva următoarea problemă, apoi calculați:
"Într-un depozit sunt 15 cutii cu câte 20 de mere și 10 cutii cu câte 30 de pere. Toate fructele sunt ambalate în pungi de câte 5 bucăți. Câte pungi s-au obținut în total?"
Pasul 1: Aflăm totalul merelor (\( 15 \cdot 20 \)) și totalul perelor (\( 10 \cdot 30 \)).
Pasul 2: Adunăm fructele pentru a afla totalul (punem aceste operații într-o paranteză rotundă).
Pasul 3: Împărțim rezultatul la 5.
Expresia numerică: \[ (15 \cdot 20 + 10 \cdot 30) : 5 = \] Rezolvare respectând ordinea operațiilor: \[ (300 + 300) : 5 = \] \[ 600 : 5 = 120 \] Răspuns: S-au obținut 120 de pungi.
Pasul 2: Adunăm fructele pentru a afla totalul (punem aceste operații într-o paranteză rotundă).
Pasul 3: Împărțim rezultatul la 5.
Expresia numerică: \[ (15 \cdot 20 + 10 \cdot 30) : 5 = \] Rezolvare respectând ordinea operațiilor: \[ (300 + 300) : 5 = \] \[ 600 : 5 = 120 \] Răspuns: S-au obținut 120 de pungi.
