Cele mai importante aspecte ale lecției
Aria măsoară cât spațiu ocupă o suprafață. Pentru a afla aria unui poligon, îl acoperim cu pătrate-unitate (adesea cu latura de \( 1 \text{ cm} \)) și numărăm câte astfel de pătrate se încadrează perfect în suprafața sa. De exemplu, un dreptunghi format din 3 rânduri a câte 7 pătrate-unitate va avea o arie egală cu 21 de unități (\( 3 \cdot 7 = 21 \)).
Aria este măsura unei suprafețe.
Aria unui poligon (sau a unei figuri geometrice) reprezintă numărul de unități etalon care se cuprind în suprafața acestuia.
Pentru a afla aria, nu măsurăm conturul (perimetrul), ci spațiul ocupat în interiorul figurii.
Pentru a calcula aria unei suprafețe pe o rețea, folosim ca unitate de măsură pătratul-unitate.
De cele mai multe ori, pătratul-unitate are latura de \( 1 \text{ cm} \) (ceea ce corespunde, pe un caiet de matematică, lungimii a două pătrățele).
Suprapunem rețeaua de pătrate peste figura geometrică a cărei arie dorim să o aflăm.
Numărăm câte pătrate-unitate acoperă complet suprafața poligonului. Numărul obținut reprezintă aria.
Dacă o figură acoperă exact 12 pătrate cu latura de \( 1 \text{ cm} \), spunem că aria sa este formată din 12 pătrate-unitate.
Exerciții
Ușoară: Pe o foaie de matematică este desenat un dreptunghi care acoperă exact 4 rânduri, fiecare rând având câte 6 pătrate-unitate cu latura de \( 1 \text{ cm} \). Care este aria dreptunghiului, exprimată în pătrate-unitate?
Pentru a afla aria, trebuie să aflăm numărul total de pătrate-unitate care acoperă suprafața.
Avem 4 rânduri a câte 6 pătrate: \( 4 \cdot 6 = 24 \) pătrate.
Răspuns: Aria este formată din 24 de pătrate-unitate.
Avem 4 rânduri a câte 6 pătrate: \( 4 \cdot 6 = 24 \) pătrate.
Răspuns: Aria este formată din 24 de pătrate-unitate.
Medie: Aveți la dispoziție 16 pătrate-unitate cu latura de \( 1 \text{ cm} \). Cum puteți așeza aceste pătrate pentru a forma un dreptunghi? Dar pentru a forma un pătrat mai mare?
Numărul 16 trebuie scris ca produs a două numere naturale (reprezentând rândurile și coloanele).
1. Pentru un dreptunghi: putem așeza pătratele pe 2 rânduri a câte 8 pătrate (\( 2 \cdot 8 = 16 \)).
2. Pentru un pătrat: numărul de rânduri trebuie să fie egal cu numărul de coloane. Putem așeza pătratele pe 4 rânduri a câte 4 pătrate (\( 4 \cdot 4 = 16 \)).
În ambele cazuri, suprafața totală (aria) va fi de 16 pătrate-unitate.
1. Pentru un dreptunghi: putem așeza pătratele pe 2 rânduri a câte 8 pătrate (\( 2 \cdot 8 = 16 \)).
2. Pentru un pătrat: numărul de rânduri trebuie să fie egal cu numărul de coloane. Putem așeza pătratele pe 4 rânduri a câte 4 pătrate (\( 4 \cdot 4 = 16 \)).
În ambele cazuri, suprafața totală (aria) va fi de 16 pătrate-unitate.
Dificilă: O felicitare dreptunghiulară are perimetrul de \( 100 \text{ cm} \). Lățimea este cu \( 10 \text{ cm} \) mai mică decât lungimea. Din câte pătrate-unitate cu latura de \( 1 \text{ cm} \) este formată aria felicitării?
1. Aflăm dimensiunile felicitării:
Perimetrul = \( 2 \cdot (\text{Lungime} + \text{lățime}) = 100 \text{ cm} \).
Suma dintre lungime și lățime este: \( 100 : 2 = 50 \text{ cm} \).
Știm că lățimea este mai mică cu 10, deci: \( \text{Lungime} + (\text{Lungime} - 10) = 50 \).
\( 2 \cdot \text{Lungime} = 60 \rightarrow \text{Lungime} = 30 \text{ cm} \).
Lățimea = \( 30 - 10 = 20 \text{ cm} \).
2. Calculăm aria:
Felicitarea va fi acoperită de 20 de rânduri (lățimea), fiecare rând având câte 30 de pătrate-unitate (lungimea).
Numărul total de pătrate-unitate = \( 30 \cdot 20 = 600 \).
Răspuns: Aria este formată din 600 de pătrate-unitate.
Perimetrul = \( 2 \cdot (\text{Lungime} + \text{lățime}) = 100 \text{ cm} \).
Suma dintre lungime și lățime este: \( 100 : 2 = 50 \text{ cm} \).
Știm că lățimea este mai mică cu 10, deci: \( \text{Lungime} + (\text{Lungime} - 10) = 50 \).
\( 2 \cdot \text{Lungime} = 60 \rightarrow \text{Lungime} = 30 \text{ cm} \).
Lățimea = \( 30 - 10 = 20 \text{ cm} \).
2. Calculăm aria:
Felicitarea va fi acoperită de 20 de rânduri (lățimea), fiecare rând având câte 30 de pătrate-unitate (lungimea).
Numărul total de pătrate-unitate = \( 30 \cdot 20 = 600 \).
Răspuns: Aria este formată din 600 de pătrate-unitate.
