Copertă

60. Paralelogramul. Dreptunghiul

Rezolvări + Recapitulare

Alege rezolvarea exercițiului:

Exercițiul 2

Rezolvare scurtă

\[ \begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Poligonul} & \text{Laturi opuse paralele} & \text{Patru unghiuri} & \text{2 obtuze și} & \text{Numele} \\ & \text{și de aceeași lungime} & \text{drepte} & \text{2 ascuțite} & \text{poligonului} \\ \hline ABCD & \text{da} & \text{nu} & \text{da} & \text{paralelogram} \\ \hline EFGH & \text{da} & \text{da} & \text{nu} & \text{dreptunghi} \\ \hline \end{array} \]

Rezolvare detaliată

Pasul 1: Analiza poligonului ABCD

Observăm poligonul \( ABCD \) desenat pe rețeaua de pătrățele. Vedem că latura \( AB \) este paralelă cu \( CD \) și au aceeași lungime (numărând pătrățelele pe orizontală sau observând înclinația). La fel, \( AD \) este paralelă cu \( BC \). Așadar, laturile opuse sunt paralele și egale. Privind unghiurile, folosim echerul ca referință: unghiurile \( \angle A \) și \( \angle C \) sunt ascuțite (mai mici decât vârful echerului), iar unghiurile \( \angle B \) și \( \angle D \) sunt obtuze (mai mari decât vârful echerului). Poligonul nu are unghiuri drepte. Acest poligon se numește paralelogram.

Pasul 2: Analiza poligonului EFGH

Observăm poligonul \( EFGH \) pe rețea. Latura \( EF \) este paralelă cu \( HG \), iar \( EH \) este paralelă cu \( FG \). Toate laturile opuse au aceeași lungime. Privind unghiurile, observăm că toate cele patru unghiuri (\( \angle E, \angle F, \angle G, \angle H \)) se suprapun perfect peste colțul echerului, deci sunt unghiuri drepte. Deoarece are patru unghiuri drepte, nu poate avea unghiuri ascuțite sau obtuze. Acest poligon se numește dreptunghi.

Pasul 3: Completarea tabelului

Vom sintetiza observațiile de mai sus în formatul tabelului cerut. \[ \begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline \text{Poligonul} & \text{Laturi opuse paralele} & \text{Patru unghiuri} & \text{2 obtuze și} & \text{Numele} \\ & \text{și de aceeași lungime} & \text{drepte} & \text{2 ascuțite} & \text{poligonului} \\ \hline ABCD & \text{da} & \text{nu} & \text{da} & \text{paralelogram} \\ \hline EFGH & \text{da} & \text{da} & \text{nu} & \text{dreptunghi} \\ \hline \end{array} \]

Rezolvare pe scurt:

\[ \begin{array}{|l|c|c|c|l|} \hline \text{Poligon} & \text{Lat. op. paralele/egale} & \text{4 unghiuri drepte} & \text{2 obt. / 2 asc.} & \text{Nume} \\ \hline ABCD & \text{da} & \text{nu} & \text{da} & \text{paralelogram} \\ \hline EFGH & \text{da} & \text{da} & \text{nu} & \text{dreptunghi} \\ \hline \end{array} \]

Cele mai importante aspecte ale lecției

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele și egale două câte două (\(AB \parallel CD, AD \parallel BC\) și \(AB = CD, AD = BC\)). Unghiurile sale pot fi ascuțite sau obtuze.
Dreptunghiul este un paralelogram particular care are toate cele patru unghiuri drepte (\(90^\circ\)).
Relație cheie: Toate dreptunghiurile sunt paralelograme, dar nu toate paralelogramele sunt dreptunghiuri. Ambele au laturile opuse egale și paralele.
Paralelogramul este poligonul (patrulaterul) care are laturile opuse paralele și de aceeași lungime.
Un paralelogram ABCD, înclinat spre dreapta. Laturile de sus și de jos, AB și DC, sunt orizontale, paralele și egale (marcate fiecare cu o singură linie perpendiculară mică). Laturile din stânga și din dreapta, AD și BC, sunt înclinate, paralele și egale (marcate fiecare cu două linii perpendiculare mici). Sunt indicate vârfurile A, B, C, D și laturile.
Un paralelogram cu vârfurile \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) se notează \(ABCD\).
Proprietățile paralelogramului ABCD:
  • Laturi opuse paralele: \(AB \parallel CD\) și \(AD \parallel BC\)
  • Laturi opuse egale (congruente): \(AB = CD\) și \(AD = BC\)
  • Unghiuri: Are două unghiuri ascuțite (mai mici de \(90^\circ\)) și două unghiuri obtuze (mai mari de \(90^\circ\)).
Dacă într-un paralelogram \(ABCD\) cunoaștem lungimea laturii \(AB = 10\text{ cm}\) și a laturii \(AD = 6\text{ cm}\), atunci automat laturile opuse lor vor avea aceleași lungimi: \(CD = 10\text{ cm}\) și \(BC = 6\text{ cm}\).
Dreptunghiul este un paralelogram care are toate unghiurile drepte (măsura fiecărui unghi interior este de \(90^\circ\)).
Un dreptunghi EFGH așezat orizontal. Toate cele patru colțuri au simbolul de unghi drept (un pătrat mic cu un punct în interior). Laturile opuse EF și HG sunt lungi și egale, iar laturile EH și FG sunt scurte și egale. Sunt indicate vârfurile E, F, G, H și cele patru unghiuri drepte.
Proprietățile dreptunghiului EFGH:
  • Fiind un paralelogram particular, are laturile opuse paralele și egale: \(EF \parallel HG\), \(EH \parallel FG\) și \(EF = HG\), \(EH = FG\).
  • Toate cele patru unghiuri sunt drepte: \(\sphericalangle E = \sphericalangle F = \sphericalangle G = \sphericalangle H = 90^\circ\).
Orice dreptunghi este un paralelogram (deoarece are laturile opuse paralele și egale), dar nu orice paralelogram este dreptunghi (un paralelogram oarecare nu are unghiurile de \(90^\circ\)). Spunem că dreptunghiul este un caz particular de paralelogram.

Pentru a înțelege mai bine asemănările și deosebirile dintre cele două figuri geometrice, putem analiza tabelul de mai jos:

Proprietate Paralelogram oarecare Dreptunghi
Laturi opuse paralele Da (\(AB \parallel CD, AD \parallel BC\)) Da (\(EF \parallel HG, EH \parallel FG\))
Laturi opuse egale Da (\(AB = CD, AD = BC\)) Da (\(EF = HG, EH = FG\))
Tipul unghiurilor Două unghiuri ascuțite și două unghiuri obtuze Toate cele patru unghiuri sunt drepte (\(90^\circ\))

Probleme propuse

Problema 1 (Ușoară): Un paralelogram \(ABCD\) are latura \(AB = 12\text{ cm}\) și latura \(BC = 7\text{ cm}\). Calculați lungimile laturilor \(CD\) și \(AD\).
Într-un paralelogram, laturile opuse sunt egale ca lungime două câte două.
  • Latura opusă lui \(AB\) este \(CD\), deci \(CD = AB = 12\text{ cm}\).
  • Latura opusă lui \(BC\) este \(AD\), deci \(AD = BC = 7\text{ cm}\).
Răspuns: \(CD = 12\text{ cm}\) și \(AD = 7\text{ cm}\).
Problema 2 (Medie): Un dreptunghi \(EFGH\) are perimetrul (suma lungimilor tuturor laturilor) egal cu \(40\text{ cm}\). Știind că lungimea laturii \(EF\) este de \(13\text{ cm}\), calculați lungimea laturii \(FG\).
Într-un dreptunghi, laturile opuse sunt egale:
  • \(GH = EF = 13\text{ cm}\)
  • \(EH = FG\)
Suma celor două laturi cunoscute este: \[ EF + HG = 13 + 13 = 26\text{ cm} \] Suma celorlalte două laturi rămase (\(FG\) și \(EH\)) este: \[ 40\text{ cm} - 26\text{ cm} = 14\text{ cm} \] Deoarece cele două laturi rămase sunt egale (\(FG = EH\)), lungimea uneia dintre ele este: \[ FG = 14\text{ cm} : 2 = 7\text{ cm} \] Răspuns: Lătura \(FG\) are lungimea de \(7\text{ cm}\).
Problema 3 (Dificilă): Andrei dorește să construiască un gard în jurul unui teren în formă de paralelogram \(ABCD\). El știe că latura \(AB\) este de două ori mai mare decât latura \(AD\). Dacă pentru a înconjura complet terenul cu un singur rând de sârmă are nevoie de \(120\text{ m}\) de sârmă, aflați lungimile tuturor laturilor terenului.
Lungimea sârmei reprezintă perimetrul paralelogramului, adică: \[ P = AB + BC + CD + AD = 120\text{ m} \] Deoarece \(ABCD\) este paralelogram, avem \(CD = AB\) și \(BC = AD\). Astfel, formula perimetrului devine: \[ P = 2 \cdot AB + 2 \cdot AD = 120\text{ m} \] Din enunț știm că \(AB = 2 \cdot AD\). Înlocuim \(AB\) în formula perimetrului: \[ 2 \cdot (2 \cdot AD) + 2 \cdot AD = 120\text{ m} \] \[ 4 \cdot AD + 2 \cdot AD = 120\text{ m} \] \[ 6 \cdot AD = 120\text{ m} \] \[ AD = 120 : 6 = 20\text{ m} \] Acum aflăm latura \(AB\): \[ AB = 2 \cdot 20 = 40\text{ m} \] Laturile opuse sunt egale cu acestea: \[ CD = AB = 40\text{ m} \] \[ BC = AD = 20\text{ m} \] Răspuns: Laturile au lungimile: \(AB = 40\text{ m}\), \(BC = 20\text{ m}\), \(CD = 40\text{ m}\), \(AD = 20\text{ m}\).

Învinge
tema cu mii de rezolvări, lecții și teste:

Matematică

17977 rezolvări

932 lecții și teste

Иконка Математика

Fizică

572 rezolvări

394 lecții și teste

Иконка Физика
Clasa a 6-a

Chimie

29 rezolvări

214 lecții și teste

Иконка Химия

PhotoSolveAI

Решение на задачи от снимка

Иконка Литература

PhotoSolveAI – un instrument puternic pentru rezolvarea problemelor din poză/text
Află mai multe