V.3. Introducerea Și Scoaterea Întregilor Dintr-o Fracție

Pentru a găsi valorile lui \( x \), vom folosi conceptul de încadrare a unei fracții între două numere naturale prin amplificare sau prin transformarea numerelor naturale în fracții cu același numitor.

Pasul 1: Scrierea condiției sub formă de inegalitate

Problema ne cere ca fracția \( \frac{x}{231} \) să se afle între numerele naturale \( 2 \) și \( 3 \). Această condiție se scrie matematic sub forma unui lanț de inegalități: \[ 2 < \frac{x}{231} < 3 \]

Pasul 2: Transformarea numerelor naturale în fracții

Pentru a putea compara numărătorul \( x \) cu limitele date, vom scrie numerele \( 2 \) și \( 3 \) ca fracții cu numitorul \( 231 \). Pentru numărul \( 2 \): \[ 2 = \frac{2 \cdot 231}{231} \] \[ \begin{array}{} & 2 & 3 & 1 & \cdot & 2 & \\ \hline & 4 & 6 & 2 & & & \\ \end{array} \] Deci, \( 2 = \frac{462}{231} \). Pentru numărul \( 3 \): \[ 3 = \frac{3 \cdot 231}{231} \] \[ \begin{array}{} & 2 & 3 & 1 & \cdot & 3 & \\ \hline & 6 & 9 & 3 & & & \\ \end{array} \] Deci, \( 3 = \frac{693}{231} \).

Pasul 3: Determinarea intervalului pentru \( x \)

Înlocuim fracțiile obținute în inegalitatea inițială: \[ \frac{462}{231} < \frac{x}{231} < \frac{693}{231} \] Deoarece numitorii sunt egali, inegalitatea se păstrează între numărători: \[ 462 < x < 693 \]

Pasul 4: Verificarea condiției suplimentare

Problema precizează că \( x \) este un număr natural de trei cifre. Toate numerele naturale cuprinse între \( 462 \) și \( 693 \) au trei cifre, deci această condiție este îndeplinită automat.

Pasul 5: Concluzia

Valorile posibile ale lui \( x \) sunt numerele naturale din mulțimea: \[ x \in \{463, 464, 465, \dots, 692\} \]

\( 2 < \frac{x}{231} < 3 \Rightarrow \frac{462}{231} < \frac{x}{231} < \frac{693}{231} \Rightarrow 462 < x < 693 \Rightarrow x \in \{463, 464, \dots, 692\} \)