V.3. Introducerea Și Scoaterea Întregilor Dintr-o Fracție

Pentru a determina valorile numărului natural nenul \( n \), vom folosi proprietățile inegalităților cu fracții ordinare. Vom transforma numerele naturale în fracții cu același numitor sau același numărător pentru a putea compara termenii direct.

a) \( 1 < \frac{n}{5} < 2 \)

Pasul 1: Aducerea la același numitor

Scriem numerele naturale 1 și 2 ca fracții cu numitorul 5: \( 1 = \frac{5}{5} \) și \( 2 = \frac{10}{5} \).

Pasul 2: Rezolvarea inegalității

Inegalitatea devine \( \frac{5}{5} < \frac{n}{5} < \frac{10}{5} \). Deoarece numitorii sunt egali, comparăm numărătorii: \( 5 < n < 10 \). Valorile lui \( n \) sunt \( \{6, 7, 8, 9\} \).

b) \( 1 < \frac{n}{23} < 2 \)

Pasul 1: Aducerea la același numitor

\( 1 = \frac{23}{23} \) și \( 2 = \frac{46}{23} \).

Pasul 2: Rezolvarea inegalității

Avem \( \frac{23}{23} < \frac{n}{23} < \frac{46}{23} \), deci \( 23 < n < 46 \). Valorile lui \( n \) sunt \( \{24, 25, \dots, 45\} \).

c) \( 7 < \frac{n}{13} < 8 \)

Pasul 1: Aducerea la același numitor

\( 7 = \frac{7 \cdot 13}{13} = \frac{91}{13} \) \( 8 = \frac{8 \cdot 13}{13} = \frac{104}{13} \)

Pasul 2: Rezolvarea inegalității

Avem \( \frac{91}{13} < \frac{n}{13} < \frac{104}{13} \), deci \( 91 < n < 104 \). Valorile lui \( n \) sunt \( \{92, 93, \dots, 103\} \).

d) \( 12 < \frac{n}{12} < 13 \)

Pasul 1: Aducerea la același numitor

\( 12 = \frac{12 \cdot 12}{12} = \frac{144}{12} \) \( 13 = \frac{13 \cdot 12}{12} = \frac{156}{12} \)

Pasul 2: Rezolvarea inegalității

Avem \( \frac{144}{12} < \frac{n}{12} < \frac{156}{12} \), deci \( 144 < n < 156 \). Valorile lui \( n \) sunt \( \{145, 146, \dots, 155\} \).

e) \( 2 < \frac{10}{n} < 3 \)

Pasul 1: Aducerea la același numărător

Vom scrie numerele naturale ca fracții cu numărătorul 10: \( 2 = \frac{10}{5} \) și \( 3 = \frac{10}{3,33...} \). Alternativ, folosim definiția: \( \frac{10}{n} > 2 \implies 10 > 2n \implies 5 > n \) și \( \frac{10}{n} < 3 \implies 10 < 3n \implies 3,33... < n \).

Pasul 2: Determinarea lui \( n \)

Din \( 3,33 < n < 5 \), singura valoare naturală este \( n = 4 \).

f) \( 2 < \frac{11}{n} < 3 \)

Pasul 1: Analiza inegalității

\( \frac{11}{n} > 2 \implies 11 > 2n \implies n \le 5 \) \( \frac{11}{n} < 3 \implies 11 < 3n \implies n \ge 4 \)

Pasul 2: Determinarea lui \( n \)

Valorile sunt \( n \in \{4, 5\} \).

g) \( 5 < \frac{23}{n} < 6 \)

Pasul 1: Analiza inegalității

\( \frac{23}{n} > 5 \implies 23 > 5n \implies n \le 4 \) \( \frac{23}{n} < 6 \implies 23 < 6n \implies n \ge 4 \)

Pasul 2: Determinarea lui \( n \)

Singura valoare este \( n = 4 \).

h) \( 10 < \frac{56}{n} < 12 \)

Pasul 1: Analiza inegalității

\( \frac{56}{n} > 10 \implies 56 > 10n \implies n \le 5 \) \( \frac{56}{n} < 12 \implies 56 < 12n \implies n \ge 5 \)

Pasul 2: Determinarea lui \( n \)

Singura valoare este \( n = 5 \).

a) \( 5 < n < 10 \implies n \in \{6, 7, 8, 9\} \) b) \( 23 < n < 46 \implies n \in \{24, 25, \dots, 45\} \) c) \( 91 < n < 104 \implies n \in \{92, 93, \dots, 103\} \) d) \( 144 < n < 156 \implies n \in \{145, 146, \dots, 155\} \) e) \( 3,33 < n < 5 \implies n = 4 \) f) \( 3,66 < n < 5,5 \implies n \in \{4, 5\} \) g) \( 3,83 < n < 4,6 \implies n = 4 \) h) \( 4,66 < n < 5,6 \implies n = 5 \)