Cele mai importante aspecte ale lecției
Introducerea întregilor în fracție: Se transformă un număr mixt într-o fracție supraunitară folosind regula: înmulțim întregul cu numitorul și adunăm numărătorul.
Exemplu: \( 4\frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{22}{5} \).
Scoaterea întregilor din fracție: Se transformă o fracție supraunitară într-un număr mixt prin împărțirea numărătorului la numitor. Câtul reprezintă întregii, iar restul este noul numărător.
Exemplu: \( \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \) (deoarece \( 17 : 3 = 5 \) rest 2).
Încadrare: O fracție scrisă sub formă de număr mixt \( c\frac{r}{n} \) se află întotdeauna între numerele naturale consecutive \( c \) și \( c+1 \).
Exemplu: \( 5\frac{2}{3} \) se află între 5 și 6, adică \( 5 < \frac{17}{3} < 6 \).
Exemplu: \( 4\frac{2}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{22}{5} \).
Scoaterea întregilor din fracție: Se transformă o fracție supraunitară într-un număr mixt prin împărțirea numărătorului la numitor. Câtul reprezintă întregii, iar restul este noul numărător.
Exemplu: \( \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3} \) (deoarece \( 17 : 3 = 5 \) rest 2).
Încadrare: O fracție scrisă sub formă de număr mixt \( c\frac{r}{n} \) se află întotdeauna între numerele naturale consecutive \( c \) și \( c+1 \).
Exemplu: \( 5\frac{2}{3} \) se află între 5 și 6, adică \( 5 < \frac{17}{3} < 6 \).
Un număr mixt este o formă de scriere alcătuită dintr-o parte întreagă și o parte fracționară, scris sub forma \( a\frac{b}{n} \).
\[ a\frac{b}{n} = \frac{a \cdot n + b}{n} \]
unde \( a, b, n \) sunt numere naturale, cu \( a \neq 0 \) și \( n \neq 0 \).
Se înmulțește partea întreagă (\(a\)) cu numitorul (\(n\)).
Se adună numărătorul (\(b\)) la rezultatul obținut anterior.
Rezultatul final se scrie la numărător, iar numitorul rămâne același (\(n\)).
Pentru a introduce întregii în numărul mixt \( 7\frac{2}{3} \), calculăm:
\[ 7\frac{2}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{21 + 2}{3} = \frac{23}{3} \]
Introduceți întregii în fracție pentru numărul mixt \( 10\frac{1}{7} \).
Aplicând formula obținem:
\[ 10\frac{1}{7} = \frac{10 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{70 + 1}{7} = \frac{71}{7} \]
Scoaterea întregilor dintr-o fracție supraunitară \( \frac{m}{n} \) reprezintă scrierea acesteia sub formă de număr mixt \( c\frac{r}{n} \).
\[ \frac{m}{n} = c\frac{r}{n} \]
unde \( c \) este câtul, iar \( r \) este restul împărțirii lui \( m \) la \( n \) (\( m : n = c \) rest \( r \)).
Se împarte numărătorul (\(m\)) la numitorul (\(n\)).
Câtul obținut (\(c\)) reprezintă numărul de întregi.
Restul obținut (\(r\)) devine noul numărător, în timp ce numitorul (\(n\)) rămâne neschimbat.
Pentru a scoate întregii din fracția \( \frac{55}{4} \), împărțim 55 la 4:
\[ 55 : 4 = 13 \text{ rest } 3 \]
Așadar:
\[ \frac{55}{4} = 13\frac{3}{4} \]
Scoateți întregii din fracția \( \frac{19}{3} \).
Efectuăm împărțirea numărătorului la numitor:
\[ 19 : 3 = 6 \text{ rest } 1 \]
Prin urmare, scrierea ca număr mixt este:
\[ \frac{19}{3} = 6\frac{1}{3} \]
Vizual, un număr mixt reprezintă un număr de figuri geometrice identice complet colorate (întregii) plus o parte dintr-o altă figură identică (partea fracționară).
În primul desen de mai sus (), avem 3 dreptunghiuri întregi colorate și încă \( \frac{3}{5} \) dintr-un al patrulea dreptunghi, ceea ce reprezintă grafic numărul mixt \( 3\frac{3}{5} \).
Pentru a determina între ce numere naturale consecutive se află o fracție supraunitară, se scot mai întâi întregii din fracție. Dacă numărul mixt obținut este de forma \( c\frac{r}{n} \), atunci fracția se află între numerele naturale \( c \) și \( c+1 \).
\[ c < c\frac{r}{n} < c + 1 \]
Pentru a încadra fracția \( \frac{15}{6} \):
1. Scoatem întregii: \( \frac{15}{6} = 2\frac{3}{6} \).
2. Fracția se află între numărul de întregi (2) și următorul număr natural (3).
3. Scriem: \( 2 < \frac{15}{6} < 3 \).
1. Scoatem întregii: \( \frac{15}{6} = 2\frac{3}{6} \).
2. Fracția se află între numărul de întregi (2) și următorul număr natural (3).
3. Scriem: \( 2 < \frac{15}{6} < 3 \).
Încadrați fracția \( \frac{18}{7} \) între două numere naturale consecutive.
Mai întâi scoatem întregii din fracție împărțind 18 la 7:
\[ 18 : 7 = 2 \text{ rest } 4 \Rightarrow \frac{18}{7} = 2\frac{4}{7} \]
Numărul mixt obținut are 2 întregi, deci este situat între 2 și 3:
\[ 2 < \frac{18}{7} < 3 \]
Probleme practice
Problemă uşoară: Introduceți întregii în următoarele fracții:
a) \( 2\frac{1}{3} \)
b) \( 3\frac{7}{10} \)
a) \( 2\frac{1}{3} \)
b) \( 3\frac{7}{10} \)
Aplicăm formula \( a\frac{b}{n} = \frac{a \cdot n + b}{n} \):
a) \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)
b) \( 3\frac{7}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{30 + 7}{10} = \frac{37}{10} \)
a) \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)
b) \( 3\frac{7}{10} = \frac{3 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{30 + 7}{10} = \frac{37}{10} \)
Problemă medie: Scoateți întregii din următoarele fracții:
a) \( \frac{72}{17} \)
b) \( \frac{103}{21} \)
a) \( \frac{72}{17} \)
b) \( \frac{103}{21} \)
Efectuăm împărțirile cu rest:
a) Pentru \( \frac{72}{17} \): \[ 72 : 17 = 4 \text{ rest } 4 \Rightarrow \frac{72}{17} = 4\frac{4}{17} \]
b) Pentru \( \frac{103}{21} \): \[ 103 : 21 = 4 \text{ rest } 19 \Rightarrow \frac{103}{21} = 4\frac{19}{21} \]
a) Pentru \( \frac{72}{17} \): \[ 72 : 17 = 4 \text{ rest } 4 \Rightarrow \frac{72}{17} = 4\frac{4}{17} \]
b) Pentru \( \frac{103}{21} \): \[ 103 : 21 = 4 \text{ rest } 19 \Rightarrow \frac{103}{21} = 4\frac{19}{21} \]
Problemă dificilă: Determinați numărul natural \( x \) în fiecare dintre cazurile de mai jos:
a) \( x\frac{5}{6} = \frac{29}{6} \)
b) \( \frac{193}{14} = 13\frac{x}{14} \)
a) \( x\frac{5}{6} = \frac{29}{6} \)
b) \( \frac{193}{14} = 13\frac{x}{14} \)
a) Pentru egalitatea \( x\frac{5}{6} = \frac{29}{6} \), introducem întregii în membrul stâng:
\[ x\frac{5}{6} = \frac{x \cdot 6 + 5}{6} \]
Egalăm numărătorii celor două fracții:
\[ 6x + 5 = 29 \]
\[ 6x = 29 - 5 \]
\[ 6x = 24 \Rightarrow x = 4 \]
b) Pentru egalitatea \( \frac{193}{14} = 13\frac{x}{14} \), scoatem întregii din fracția \( \frac{193}{14} \) prin împărțire:
\[ 193 : 14 = 13 \text{ rest } 11 \]
Deci:
\[ \frac{193}{14} = 13\frac{11}{14} \]
Comparând cu membrul drept, obținem \( x = 11 \).
