Cele mai importante aspecte ale lecției
- Compararea numerelor: Se analizează numărul de cifre (mai puține cifre \(\to\) număr mai mic). Dacă au același număr de cifre, se compară cifrele de la stânga la dreapta.
- Numărul de elemente dintr-un interval:
- Inclusiv capetele (\( a \leq n \leq b \)): \( b - a + 1 \) numere.
- Inclusiv doar un capăt (\( a < n \leq b \) sau \( a \leq n < b \)): \( b - a \) numere.
- Exclusiv capetele (\( a < n < b \)): \( b - a - 1 \) numere.
- Aproximări și Rotunjiri:
- Aproximarea prin lipsă: se înlocuiesc cifrele de după ordinul ales cu 0 (ex. \( 4266 \to 4200 \) la sute).
- Aproximarea prin adaos: se mărește cifra ordinului ales cu 1 și restul se înlocuiesc cu 0 (ex. \( 4266 \to 4300 \) la sute).
- Rotunjirea: se face prin lipsă dacă cifra din dreapta este \(< 5\), și prin adaos dacă cifra din dreapta este \(\geq 5\).
Dintre două numere naturale, este mai mic cel care are mai puține cifre.
\( 473 < 1\,069 \) (deoarece \(473\) are 3 cifre, iar \(1\,069\) are 4 cifre).
Dintre două numere naturale cu același număr de cifre, cel mai mare este cel care are prima cifră diferită (de la stânga la dreapta) mai mare.
\( 18\,795 > 18\,789 \) (la zeci, avem \(9 > 8\)).
Comparați numerele \( 53\,602 \) și \( 53\,599 \).
Ambele numere au câte 5 cifre. Comparându-le de la stânga la dreapta:
Răspuns: \( 53\,602 > 53\,599 \).
- Cifra zecilor de mii: \(5 = 5\)
- Cifra miilor: \(3 = 3\)
- Cifra sutelor: \(6 > 5\)
Răspuns: \( 53\,602 > 53\,599 \).
De la \( a \) la \( b \) (inclusiv \( a \) și \( b \)): Corespunde relației \( a \leq n \leq b \).
\[ \text{Numărul de numere} = b - a + 1 \]
Exemplu: De la 72 la 75 avem \( 75 - 72 + 1 = 4 \) numere (72, 73, 74, 75).
De la \( a \) la \( b \) (inclusiv doar un singur capăt): Corespunde relațiilor \( a < n \leq b \) sau \( a \leq n < b \).
\[ \text{Numărul de numere} = b - a \]
Exemplu: Pentru \( 20 \leq n < 26 \), avem \( 26 - 20 = 6 \) numere (20, 21, 22, 23, 24, 25).
Între \( a \) și \( b \) (fără a include capetele): Corespunde relației \( a < n < b \).
\[ \text{Numărul de numere} = b - a - 1 \]
Exemplu: Între 3 și 8 sunt \( 8 - 3 - 1 = 4 \) numere naturale (4, 5, 6, 7).
Câte numere naturale se află în intervalul \( 15 \leq n \leq 42 \)? Dar în intervalul \( 15 < n < 42 \)?
- Pentru intervalul \( 15 \leq n \leq 42 \) (ambele capete incluse), aplicăm formula \( b - a + 1 \): \[ 42 - 15 + 1 = 27 + 1 = 28 \text{ numere} \]
- Pentru intervalul \( 15 < n < 42 \) (fără capete), aplicăm formula \( b - a - 1 \): \[ 42 - 15 - 1 = 27 - 1 = 26 \text{ numere} \]
Aproximarea prin lipsă a unui număr natural la zeci/sute/mii este cel mai mare număr natural format numai din zeci/sute/mii, mai mic sau cel mult egal cu numărul dat.
Aproximarea prin adaos a unui număr natural la zeci/sute/mii este cel mai mic număr natural format numai din zeci/sute/mii, mai mare sau egal cu numărul dat.
Să aproximăm numărul \( 4\,266 \) la sute:
- Aproximarea prin lipsă: \( 4\,200 \) (cel mai mare număr de sute întregi \(\leq 4\,266\))
- Aproximarea prin adaos: \( 4\,300 \) (cel mai mic număr de sute întregi \(\geq 4\,266\))
| Numărul | Aproximarea la zeci | Aproximarea la sute | Aproximarea la mii | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Lipsă | Adaos | Lipsă | Adaos | Lipsă | Adaos | |
| 4 266 | 4 260 | 4 270 | 4 200 | 4 300 | 4 000 | 5 000 |
| 24 158 | 24 150 | 24 160 | 24 100 | 24 200 | 24 000 | 25 000 |
| 356 841 | 356 840 | 356 850 | 356 800 | 356 900 | 356 000 | 357 000 |
A estima înseamnă a evalua cu aproximație, a aprecia mărimea sau valoarea pe baza unor date incomplete.
Rotunjirea unui număr natural la un anumit ordin (zeci, sute, mii etc.) este cea mai apropiată dintre aproximările prin lipsă și prin adaos ale numărului respectiv. Dacă ambele aproximări sunt la fel de apropiate (cifra de după ordin este 5), se alege aproximarea prin adaos.
Pentru a rotunji un număr la un anumit ordin (zeci, sute, mii etc.), ne uităm la cifra imediat următoare din dreapta acestuia:
- Dacă această cifră este mai mică decât 5 (\(0, 1, 2, 3, 4\)), rotunjirea este egală cu aproximarea prin lipsă.
- Dacă această cifră este mai mare sau egală cu 5 (\(5, 6, 7, 8, 9\)), rotunjirea este egală cu aproximarea prin adaos.
Să rotunjim numărul \( 3\,637 \) la diferite ordine:
- La zeci: Cifra din dreapta este 7 (\(7 \geq 5\)), deci rotunjim prin adaos \(\to\) \( 3\,640 \).
- La sute: Cifra din dreapta este 3 (\(3 < 5\)), deci rotunjim prin lipsă \(\to\) \( 3\,600 \).
- La mii: Cifra din dreapta este 6 (\(6 \geq 5\)), deci rotunjim prin adaos \(\to\) \( 4\,000 \).
Rotunjiți numărul \( 8\,451 \) la sute.
La sute avem cifra 4. Cifra imediat următoare din dreapta (a zecilor) este 5. Deoarece această cifră este \(\geq 5\), facem rotunjirea prin adaos.
Răspuns: \( 8\,500 \).
Răspuns: \( 8\,500 \).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Comparați numerele \( \overline{4a5} \) și \( \overline{43b} \), știind că \( a < 3 \).
Ambele numere au câte trei cifre. Le comparăm de la stânga la dreapta:
Răspuns: \( \overline{4a5} < \overline{43b} \).
- Cifra sutelor este aceeași: 4.
- Cifra zecilor: la primul număr este \( a \), la al doilea este 3.
Răspuns: \( \overline{4a5} < \overline{43b} \).
Problema 2 (Medie): Determinați câte numere naturale \( n \) verifică inegalitatea \( 78 < n \leq 142 \).
Inegalitatea este de forma \( a < n \leq b \), ceea ce înseamnă că doar capătul superior \( b \) este inclus în numărătoare.
Formula pentru numărul de termeni este: \[ N = b - a \] Calculăm: \[ 142 - 78 = 64 \] Deci, există 64 de numere naturale în acest interval.
Răspuns: 64 de numere.
Formula pentru numărul de termeni este: \[ N = b - a \] Calculăm: \[ 142 - 78 = 64 \] Deci, există 64 de numere naturale în acest interval.
Răspuns: 64 de numere.
Problema 3 (Medie-Dificilă): Determinați cel mai mic număr natural de forma \( \overline{58x4} \) care are rotunjirea la sute egală cu \( 5\,900 \).
Cifra sutelor a numărului dat este 8, iar a rotunjirii este 9. Acest lucru înseamnă că rotunjirea s-a efectuat prin adaos.
Pentru ca rotunjirea la sute să se facă prin adaos, cifra imediat următoare din dreapta ei (cifra zecilor, \( x \)) trebuie să fie mai mare sau egală cu 5: \[ x \in \{5, 6, 7, 8, 9\} \] Pentru ca numărul \( \overline{58x4} \) să fie cel mai mic posibil, alegem cea mai mică valoare pentru cifra \( x \), adică \( x = 5 \).
Răspuns: Numărul este \( 5\,854 \).
Pentru ca rotunjirea la sute să se facă prin adaos, cifra imediat următoare din dreapta ei (cifra zecilor, \( x \)) trebuie să fie mai mare sau egală cu 5: \[ x \in \{5, 6, 7, 8, 9\} \] Pentru ca numărul \( \overline{58x4} \) să fie cel mai mic posibil, alegem cea mai mică valoare pentru cifra \( x \), adică \( x = 5 \).
Răspuns: Numărul este \( 5\,854 \).
Problema 4 (Dificilă): Care sunt cifrele \( y \) pentru care rotunjirea la mii a numărului \( \overline{3y25} \) este egală cu \( 3\,000 \)?
Cifra miilor a numărului dat este 3, iar a rotunjirii sale este tot 3. Acest lucru indică faptul că rotunjirea s-a făcut prin lipsă.
Pentru ca rotunjirea la mii să fie prin lipsă, cifra sutelor (\( y \)) trebuie să fie strict mai mică decât 5: \[ y \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \] Deoarece \( y \) se află pe poziția sutelor (nu este prima cifră a numărului), valoarea sa poate fi și 0.
Răspuns: \( y \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
Pentru ca rotunjirea la mii să fie prin lipsă, cifra sutelor (\( y \)) trebuie să fie strict mai mică decât 5: \[ y \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \] Deoarece \( y \) se află pe poziția sutelor (nu este prima cifră a numărului), valoarea sa poate fi și 0.
Răspuns: \( y \in \{0, 1, 2, 3, 4\} \).
