Cele mai importante aspecte ale lecției
- Împărțirea la 10, 100, 1 000: Mutăm virgula spre stânga peste atâtea zecimale câte zerouri are împărțitorul. Exemplu: \( 14,5 : 100 = 0,145 \).
- Împărțirea la un număr natural: Se împarte partea întreagă și se plasează virgula la cât, apoi se continuă împărțirea normal. Exemplu: \( 9,6 : 4 = 2,4 \).
- Împărțirea a două fracții zecimale: Se înmulțesc ambele numere cu aceiași putere a lui 10 pentru ca împărțitorul să devină număr natural. Exemplu: \( 1,2 : 0,4 \rightarrow 12 : 4 = 3 \).
- Transformarea în fracție ordinară:
- Periodică simplă: \( 0,(x) = \frac{x}{9} \) sau \( a,(x) = \frac{\overline{ax} - a}{9} \). Exemplu: \( 1,(3) = \frac{13 - 1}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \).
- Periodică mixtă: \( 0,x(y) = \frac{\overline{xy} - x}{90} \) sau \( a,b(c) = \frac{\overline{abc} - \overline{ab}}{90} \). Exemplu: \( 0,1(6) = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \).
Pentru a împărți o fracție zecimală cu un număr finit de zecimale la o putere a lui 10 (10, 100, 1 000 etc.), se mută virgula spre stânga peste un număr de cifre egal cu numărul de zerouri al împărțitorului.
Dacă nu sunt suficiente cifre în partea stângă, se adaugă zerouri în fața numărului pentru a putea plasa virgula.
- \( 32,6 : 10 = 3,26 \) (mutăm virgula spre stânga cu o cifră)
- \( 245,7 : 100 = 2,457 \) (mutăm virgula spre stânga cu două cifre)
- \( 32,4 : 1000 = 0,0324 \) (mutăm virgula spre stânga cu trei cifre și adăugăm zerouri în față)
Calculați \( 1,5 : 100 \).
Împărțitorul are două zerouri, deci mutăm virgula spre stânga cu două poziții, completând cu zerouri:
\[ 1,5 : 100 = 0,015 \]
Se împarte mai întâi partea întreagă a deîmpărțitului la numărul natural dat și se scrie virgula la cât.
Se continuă împărțirea ca la numerele naturale, coborând pe rând cifrele de după virgulă.
Dacă este necesar, se pot adăuga zerouri la sfârșitul deîmpărțitului pentru a continua împărțirea până când restul este zero.
Calculul pentru \( 25,75 : 5 = 5,15 \):
1) Împărțim partea întreagă: \( 25 : 5 = 5 \). Scriem la cât \( 5 \) și punem virgula: \( 5, \)
2) Coborâm pe \( 7 \): \( 7 : 5 = 1 \), rest \( 2 \). Câtul devine \( 5,1 \)
3) Coborâm pe \( 5 \): \( 25 : 5 = 5 \), rest \( 0 \). Câtul final este \( 5,15 \).
1) Împărțim partea întreagă: \( 25 : 5 = 5 \). Scriem la cât \( 5 \) și punem virgula: \( 5, \)
2) Coborâm pe \( 7 \): \( 7 : 5 = 1 \), rest \( 2 \). Câtul devine \( 5,1 \)
3) Coborâm pe \( 5 \): \( 25 : 5 = 5 \), rest \( 0 \). Câtul final este \( 5,15 \).
Calculați \( 14,2 : 4 \).
1) Împărțim partea întreagă: \( 14 : 4 = 3 \), rest \( 2 \). Scriem la cât \( 3, \)
2) Coborâm zecimala \( 2 \), obținând \( 22 \). Împărțim: \( 22 : 4 = 5 \), rest \( 2 \). Câtul devine \( 3,5 \).
3) Pentru a continua, adăugăm un zero la restul \( 2 \), obținând \( 20 \). Împărțim: \( 20 : 4 = 5 \), rest \( 0 \).
Rezultatul este: \[ 14,2 : 4 = 3,55 \]
2) Coborâm zecimala \( 2 \), obținând \( 22 \). Împărțim: \( 22 : 4 = 5 \), rest \( 2 \). Câtul devine \( 3,5 \).
3) Pentru a continua, adăugăm un zero la restul \( 2 \), obținând \( 20 \). Împărțim: \( 20 : 4 = 5 \), rest \( 0 \).
Rezultatul este: \[ 14,2 : 4 = 3,55 \]
Pentru a împărți două fracții zecimale finite, se înmulțesc atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu aceeași putere a lui 10 (\(10, 100, 1\ 000\) etc.) astfel încât împărțitorul să devină un număr natural. Apoi se efectuează împărțirea după regulile cunoscute.
Pentru a calcula \( 2,816 : 0,16 \):
1) Împărțitorul \( 0,16 \) are 2 zecimale, deci înmulțim ambele numere cu \( 10^2 = 100 \): \[ 2,816 \cdot 100 = 281,6 \] \[ 0,16 \cdot 100 = 16 \]
2) Efectuăm împărțirea: \( 281,6 : 16 = 17,6 \).
1) Împărțitorul \( 0,16 \) are 2 zecimale, deci înmulțim ambele numere cu \( 10^2 = 100 \): \[ 2,816 \cdot 100 = 281,6 \] \[ 0,16 \cdot 100 = 16 \]
2) Efectuăm împărțirea: \( 281,6 : 16 = 17,6 \).
Calculați \( 0,45 : 0,3 \).
Împărțitorul are o singură zecimală, deci înmulțim ambele numere cu 10:
\[ 0,45 \cdot 10 = 4,5 \]
\[ 0,3 \cdot 10 = 3 \]
Efectuăm împărțirea:
\[ 4,5 : 3 = 1,5 \]
Deci, \( 0,45 : 0,3 = 1,5 \).
O fracție zecimală periodică simplă are perioada situată imediat după virgulă.
Pentru a transforma o fracție periodică simplă în fracție ordinară:
1) La numărător: se scrie tot numărul, fără virgulă, din care se scade partea întreagă.
2) La numitor: se scrie un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre sunt în perioadă.
1) La numărător: se scrie tot numărul, fără virgulă, din care se scade partea întreagă.
2) La numitor: se scrie un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre sunt în perioadă.
\[ \overline{a,(b)} = \frac{\overline{ab} - a}{9} \]
\[ \overline{a,(bcd)} = \frac{\overline{abcd} - a}{999} \]
- \( 0,(7) = \frac{7}{9} \)
- \( 1,(7) = \frac{17 - 1}{9} = \frac{16}{9} \)
- \( 11,(27) = \frac{1127 - 11}{99} = \frac{1116}{99} = \frac{124}{11} \) (după simplificare cu 9)
Transformați fracția \( 3,(15) \) în fracție ordinară.
Aplicăm regula:
\[ 3,(15) = \frac{315 - 3}{99} = \frac{312}{99} \]
Simplificăm prin 3 (suma cifrelor numărătorului este \(3+1+2=6\), divizibilă cu 3):
\[ \frac{312 : 3}{99 : 3} = \frac{104}{33} \]
O fracție zecimală periodică mixtă are una sau mai multe cifre neperiodice între virgulă și perioadă.
Pentru a transforma o fracție periodică mixtă în fracție ordinară:
1) La numărător: se scrie tot numărul fără virgulă, din care se scade numărul aflat înaintea perioadei (partea întreagă împreună cu partea neperiodică).
2) La numitor: se scrie un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre sunt în perioadă, urmate de atâtea cifre de \(0\) câte cifre sunt în partea neperiodică (zecimalele din afara perioadei).
1) La numărător: se scrie tot numărul fără virgulă, din care se scade numărul aflat înaintea perioadei (partea întreagă împreună cu partea neperiodică).
2) La numitor: se scrie un număr format din atâtea cifre de \(9\) câte cifre sunt în perioadă, urmate de atâtea cifre de \(0\) câte cifre sunt în partea neperiodică (zecimalele din afara perioadei).
\[ \overline{a,b(c)} = \frac{\overline{abc} - \overline{ab}}{90} \]
\[ \overline{a,bc(de)} = \frac{\overline{abcde} - \overline{abc}}{9900} \]
- \( 0,1(3) = \frac{13 - 1}{90} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15} \) (după simplificarea cu 6)
- \( 18,52(407) = \frac{1852407 - 1852}{99900} = \frac{1850555}{99900} = \frac{10003}{540} \) (după simplificări succesive cu 5, apoi cu 37)
Transformați fracția \( 1,3(2) \) în fracție ordinară.
Aplicăm regula:
\[ 1,3(2) = \frac{132 - 13}{90} = \frac{119}{90} \]
Această fracție este ireductibilă.
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
Efectuați următoarele operații:
a) \( 15,48 : 10 \)
b) \( 4,8 : 8 \)
Efectuați următoarele operații:
a) \( 15,48 : 10 \)
b) \( 4,8 : 8 \)
a) Pentru împărțirea la 10 mutăm virgula cu o poziție spre stânga:
\[ 15,48 : 10 = 1,548 \]
b) Împărțim partea întreagă la 8: \( 4 : 8 = 0 \) rest 4. Scriem \( 0, \) la cât. Coborâm pe 8: \( 48 : 8 = 6 \) rest 0.
\[ 4,8 : 8 = 0,6 \]
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Calculați valoarea expresiei \( 1,21 : 0,11 + 3,5 : 0,7 \).
Calculați valoarea expresiei \( 1,21 : 0,11 + 3,5 : 0,7 \).
Efectuăm pe rând cele două împărțiri:
1) Pentru \( 1,21 : 0,11 \), înmulțim ambele numere cu 100 pentru ca împărțitorul să devină număr natural: \[ 121 : 11 = 11 \] 2) Pentru \( 3,5 : 0,7 \), înmulțim ambele numere cu 10: \[ 35 : 7 = 5 \] 3) Adunăm rezultatele obținute: \[ 11 + 5 = 16 \] Răspuns: 16.
1) Pentru \( 1,21 : 0,11 \), înmulțim ambele numere cu 100 pentru ca împărțitorul să devină număr natural: \[ 121 : 11 = 11 \] 2) Pentru \( 3,5 : 0,7 \), înmulțim ambele numere cu 10: \[ 35 : 7 = 5 \] 3) Adunăm rezultatele obținute: \[ 11 + 5 = 16 \] Răspuns: 16.
Problema 3 (Dificultate: Medie)
Transformați următoarele fracții zecimale periodice în fracții ordinare ireductibile:
a) \( 2,(3) \)
b) \( 0,2(6) \)
Transformați următoarele fracții zecimale periodice în fracții ordinare ireductibile:
a) \( 2,(3) \)
b) \( 0,2(6) \)
a) Pentru fracția periodică simplă \( 2,(3) \):
\[ 2,(3) = \frac{23 - 2}{9} = \frac{21}{9} \]
Simplificăm prin 3:
\[ \frac{21 : 3}{9 : 3} = \frac{7}{3} \]
b) Pentru fracția periodică mixtă \( 0,2(6) \):
\[ 0,2(6) = \frac{26 - 2}{90} = \frac{24}{90} \]
Simplificăm prin 6:
\[ \frac{24 : 6}{90 : 6} = \frac{4}{15} \]
Problema 4 (Dificultate: Dificilă)
Știind că 6 caiete de același tip costă în total 15,90 lei, aflați:
a) Cât costă un singur caiet?
b) Cât vor costa 4 astfel de caiete?
Știind că 6 caiete de același tip costă în total 15,90 lei, aflați:
a) Cât costă un singur caiet?
b) Cât vor costa 4 astfel de caiete?
a) Pentru a afla prețul unui caiet, împărțim costul total la numărul de caiete:
\[ 15,90 : 6 \]
- Partea întreagă: \( 15 : 6 = 2 \), rest \( 3 \). Scriem la cât \( 2, \)
- Coborâm zecimala 9, obținând \( 39 \). \( 39 : 6 = 6 \), rest \( 3 \). Câtul devine \( 2,6 \)
- Coborâm sutimea 0, obținând \( 30 \). \( 30 : 6 = 5 \), rest \( 0 \).
\[ 15,90 : 6 = 2,65\text{ lei} \]
Un caiet costă \( 2,65 \) lei.
b) Pentru a afla costul a 4 caiete, înmulțim prețul unui caiet cu 4: \[ 2,65 \cdot 4 = 10,60\text{ lei} \] Răspuns: Un caiet costă 2,65 lei, iar 4 caiete costă 10,60 lei.
b) Pentru a afla costul a 4 caiete, înmulțim prețul unui caiet cu 4: \[ 2,65 \cdot 4 = 10,60\text{ lei} \] Răspuns: Un caiet costă 2,65 lei, iar 4 caiete costă 10,60 lei.
