IV.5.1. Cel Mai Mare Divizor Comun A Două Numere Naturale

Pentru a afla cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al unor numere naturale, vom urma pașii învățați: scriem mulțimea divizorilor pentru fiecare număr, identificăm divizorii comuni și îl alegem pe cel mai mare dintre aceștia. Simbolul pentru c.m.m.d.c. este paranteza rotundă \( (a, b) \).

a) 2 și 6

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_2 = \{1, 2\} \] \[ \mathcal{D}_6 = \{1, 2, 3, 6\} \]

Pasul 2: Identificarea divizorilor comuni și alegerea celui mai mare

Divizorii comuni sunt \( 1 \) și \( 2 \). Cel mai mare este \( 2 \). \[ (2, 6) = 2 \]

b) 9 și 27

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_9 = \{1, 3, 9\} \] \[ \mathcal{D}_{27} = \{1, 3, 9, 27\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Deoarece \( 9 \) este divizor al lui \( 27 \), cel mai mare divizor comun este chiar numărul mai mic. \[ (9, 27) = 9 \]

c) 3, 6 și 9

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_3 = \{1, 3\} \] \[ \mathcal{D}_6 = \{1, 2, 3, 6\} \] \[ \mathcal{D}_9 = \{1, 3, 9\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Singurii divizori comuni pentru toate cele trei numere sunt \( 1 \) și \( 3 \). \[ (3, 6, 9) = 3 \]

d) 12, 4 și 6

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\} \] \[ \mathcal{D}_4 = \{1, 2, 4\} \] \[ \mathcal{D}_6 = \{1, 2, 3, 6\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Divizorii comuni sunt \( 1 \) și \( 2 \). Cel mai mare dintre aceștia este \( 2 \). \[ (12, 4, 6) = 2 \]

e) 5, 25 și 110

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_5 = \{1, 5\} \] \[ \mathcal{D}_{25} = \{1, 5, 25\} \] \[ \mathcal{D}_{110} = \{1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Observăm că numărul \( 5 \) îi divide pe ceilalți doi (\( 25 \) și \( 110 \)). \[ (5, 25, 110) = 5 \]

f) 81 și 27

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_{81} = \{1, 3, 9, 27, 81\} \] \[ \mathcal{D}_{27} = \{1, 3, 9, 27\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Cum \( 81 = 27 \cdot 3 \), înseamnă că \( 27 \) este divizor al lui \( 81 \). \[ (81, 27) = 27 \]

g) 14, 15 și 7

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_{14} = \{1, 2, 7, 14\} \] \[ \mathcal{D}_{15} = \{1, 3, 5, 15\} \] \[ \mathcal{D}_7 = \{1, 7\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Analizând listele, observăm că singurul divizor comun pentru toate cele trei numere este \( 1 \). Atunci când c.m.m.d.c. este \( 1 \), spunem că numerele sunt prime între ele. \[ (14, 15, 7) = 1 \]

h) 100 și 25

Pasul 1: Scrierea divizorilor

\[ \mathcal{D}_{100} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100\} \] \[ \mathcal{D}_{25} = \{1, 5, 25\} \]

Pasul 2: Determinarea c.m.m.d.c.

Deoarece \( 100 = 25 \cdot 4 \), cel mai mare divizor comun este \( 25 \). \[ (100, 25) = 25 \]

a) \( \mathcal{D}_2 \cap \mathcal{D}_6 = \{1, 2\} \Rightarrow (2, 6) = 2 \) b) \( \mathcal{D}_9 \cap \mathcal{D}_{27} = \{1, 3, 9\} \Rightarrow (9, 27) = 9 \) c) \( \mathcal{D}_3 \cap \mathcal{D}_6 \cap \mathcal{D}_9 = \{1, 3\} \Rightarrow (3, 6, 9) = 3 \) d) \( \mathcal{D}_{12} \cap \mathcal{D}_4 \cap \mathcal{D}_6 = \{1, 2\} \Rightarrow (12, 4, 6) = 2 \) e) \( \mathcal{D}_5 \cap \mathcal{D}_{25} \cap \mathcal{D}_{110} = \{1, 5\} \Rightarrow (5, 25, 110) = 5 \) f) \( 81 = 27 \cdot 3 \Rightarrow (81, 27) = 27 \) g) \( \mathcal{D}_{14} \cap \mathcal{D}_{15} \cap \mathcal{D}_7 = \{1\} \Rightarrow (14, 15, 7) = 1 \) h) \( 100 = 25 \cdot 4 \Rightarrow (100, 25) = 25 \)