Cele mai importante aspecte ale lecției
Cele 5 reguli esențiale pentru calculul cu puteri de fracții ordinare sunt:
- Înmulțire (aceeași bază): \( \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \)
- Împărțire (aceeași bază): \( \left(\frac{a}{b}\right)^m : \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \)
- Puterea unei puteri: \( \left[\left(\frac{a}{b}\right)^m\right]^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \)
- Puterea unui produs: \( \left(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^n \)
- Puterea unui cât: \( \left(\frac{a}{b} : \frac{c}{d}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^n : \left(\frac{c}{d}\right)^n \)
Pentru a efectua calcule cu puteri de fracții care au aceeași bază, aplicăm reguli similare cu cele de la numere întregi.
1. Înmulțirea puterilor cu aceeași bază: Se scrie baza și se adună exponenții.
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^m \cdot \left( \frac{a}{b} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m+n} \]
\[ \left( \frac{2}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^7 = \left( \frac{2}{3} \right)^{2+7} = \left( \frac{2}{3} \right)^9 \]
2. Împărțirea puterilor cu aceeași bază: Se scrie baza și se scad exponenții.
\[ \left( \frac{a}{b} \right)^m : \left( \frac{a}{b} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m-n}, \text{ unde } m \geq n \]
\[ \left( \frac{5}{4} \right)^5 : \left( \frac{5}{4} \right)^3 = \left( \frac{5}{4} \right)^{5-3} = \left( \frac{5}{4} \right)^2 \]
3. Puterea unei puteri: Se scrie baza și se înmulțesc exponenții.
\[ \left[ \left( \frac{a}{b} \right)^m \right]^n = \left( \frac{a}{b} \right)^{m \cdot n} \]
\[ \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^4 \right]^6 = \left( \frac{3}{5} \right)^{4 \cdot 6} = \left( \frac{3}{5} \right)^{24} \]
Atunci când avem de ridicat la putere un produs sau un cât de două fracții, putem ridica la acea putere fiecare factor în parte.
4. Puterea unui produs: Se ridică la putere fiecare factor al produsului.
\[ \left( \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^n \cdot \left( \frac{c}{d} \right)^n \]
\[ \left( \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{7} \right)^2 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{7} \right)^2 \]
5. Puterea unui cât: Se ridică la putere fiecare factor al câtului.
\[ \left( \frac{a}{b} : \frac{c}{d} \right)^n = \left( \frac{a}{b} \right)^n : \left( \frac{c}{d} \right)^n \]
\[ \left( \frac{2}{5} : \frac{1}{3} \right)^2 = \left( \frac{2}{5} \right)^2 : \left( \frac{1}{3} \right)^2 \]
Orice fracție ordinară nenulă ridicată la puterea \(0\) este egală cu \(1\).
\[ \left( \frac{1003}{1007} \right)^0 = 1 \]
Orice fracție ordinară ridicată la puterea \(1\) este egală cu ea însăși.
\[ \left( \frac{23}{45} \right)^1 = \frac{23}{45} \]
Scrierea unei fracții ca putere:
Dacă numărătorul și numitorul pot fi scriși ca puteri cu același exponent, atunci întreaga fracție se poate scrie la acea putere:
\[ \frac{x^n}{y^n} = \left( \frac{x}{y} \right)^n \]
\[ \frac{27}{343} = \frac{3^3}{7^3} = \left( \frac{3}{7} \right)^3 \]
Aducerea la același exponent:
Putem transforma baze diferite pentru a obține același exponent, facilitând compararea sau calculul:
\[ a^{x \cdot y} = (a^x)^y \]
Pentru a compara \(5^{18}\) și \(3^{45}\), le scriem cu exponentul comun \(9\):
\[ 5^{18} = (5^2)^9 = 25^9 \]
\[ 3^{45} = (3^5)^9 = 243^9 \]
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Calculează și scrie rezultatul sub forma unei singure puteri:
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 \]
Aplicăm regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază (se scrie baza și se adună exponenții):
\[ \left( \frac{1}{3} \right)^4 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^5 = \left( \frac{1}{3} \right)^{4+5} = \left( \frac{1}{3} \right)^9 \]
Răspuns: \( \left( \frac{1}{3} \right)^9 \)
Problema 2 (Medie): Scrie sub forma unei singure puteri următorul calcul, transformând mai întâi bazele:
\[ \left( \frac{3}{5} \right)^9 : \left( \frac{9}{25} \right)^4 \]
Observăm că baza a doua poate fi scrisă ca o putere:
\[ \frac{9}{25} = \left( \frac{3}{5} \right)^2 \]
Înlocuim în exercițiu și folosim regula pentru puterea unei puteri:
\[ \left( \frac{9}{25} \right)^4 = \left[ \left( \frac{3}{5} \right)^2 \right]^4 = \left( \frac{3}{5} \right)^{2 \cdot 4} = \left( \frac{3}{5} \right)^8 \]
Acum efectuăm împărțirea puterilor cu aceeași bază (scădem exponenții):
\[ \left( \frac{3}{5} \right)^9 : \left( \frac{3}{5} \right)^8 = \left( \frac{3}{5} \right)^{9-8} = \left( \frac{3}{5} \right)^1 = \frac{3}{5} \]
Răspuns: \( \frac{3}{5} \) (sau \( \left( \frac{3}{5} \right)^1 \))
Problema 3 (Dificilă): Efectuează calculul:
\[ \left( \frac{7}{10} \right)^{40} : \left( \frac{7}{10} \right)^{30} - \left( \frac{7}{10} \right)^{10} + \left( \frac{7}{10} \right)^2 \]
Rezolvăm pe etape respectând ordinea operațiilor:
Efectuăm împărțirea din prima parte prin scăderea exponenților:
\[ \left( \frac{7}{10} \right)^{40} : \left( \frac{7}{10} \right)^{30} = \left( \frac{7}{10} \right)^{40-30} = \left( \frac{7}{10} \right)^{10} \]
Înlocuim rezultatul obținut în expresia inițială:
\[ \left( \frac{7}{10} \right)^{10} - \left( \frac{7}{10} \right)^{10} + \left( \frac{7}{10} \right)^2 \]
Scădem termenii identici, obținând \(0\):
\[ 0 + \left( \frac{7}{10} \right)^2 = \left( \frac{7}{10} \right)^2 \]
Calculăm puterea rămasă ridicând atât numărătorul, cât și numitorul la pătrat:
\[ \left( \frac{7}{10} \right)^2 = \frac{7^2}{10^2} = \frac{49}{100} \]
Răspuns final: \( \frac{49}{100} \)
