Cele mai importante aspecte ale lecției
Divizibilitatea: Relația \( a \vdots b \) înseamnă că \( a \) se împarte exact la \( b \).
Terminologie: Dacă \( 12 : 3 = 4 \), atunci \( 12 \) este multiplu al lui \( 3 \) (\( 12 \vdots 3 \)), iar \( 3 \) este divizor al lui \( 12 \) (\( 3 \mid 12 \)).
Divizori improprii și proprii: Pentru \( 10 \), divizorii improprii sunt \( 1 \) și \( 10 \), iar cei proprii sunt \( 2 \) și \( 5 \).
Determinare rapidă: Divizibilitatea se verifică prin împărțire simplă; dacă restul este \( 0 \), numerele sunt în relație de divizibilitate.
Terminologie: Dacă \( 12 : 3 = 4 \), atunci \( 12 \) este multiplu al lui \( 3 \) (\( 12 \vdots 3 \)), iar \( 3 \) este divizor al lui \( 12 \) (\( 3 \mid 12 \)).
Divizori improprii și proprii: Pentru \( 10 \), divizorii improprii sunt \( 1 \) și \( 10 \), iar cei proprii sunt \( 2 \) și \( 5 \).
Determinare rapidă: Divizibilitatea se verifică prin împărțire simplă; dacă restul este \( 0 \), numerele sunt în relație de divizibilitate.
Un număr natural \( a \) este divizibil cu un număr natural \( b \) dacă există un număr natural \( c \) astfel încât \( a = b \cdot c \).
În această relație, numărul \( a \) se numește multiplu al lui \( b \), iar \( b \) se numește divizor al lui \( a \).
| Scriem | Citim |
|---|---|
| \( a \vdots b \) | \( a \) este divizibil cu \( b \) |
| \( a \) se divide cu \( b \) | |
| \( a \) este multiplu al lui \( b \) | |
| \( b \mid a \) | \( b \) divide pe \( a \) |
| \( b \) este un divizor al lui \( a \) | |
| \( a \not\vdots b \) | \( a \) nu este divizibil cu \( b \) |
| \( b \nmid a \) | \( b \) nu divide pe \( a \) |
- \( 20 \vdots 2 \) (sau \( 2 \mid 20 \)), deoarece există numărul natural \( 10 \) astfel încât \( 20 = 2 \cdot 10 \).
- \( 19 \not\vdots 4 \) (sau \( 4 \nmid 19 \)), deoarece nu există niciun număr natural \( c \) astfel încât \( 19 = 4 \cdot c \).
Mulțimea divizorilor naturali ai unui număr \( a \) se notează cu \( \mathcal{D}_a \). Această mulțime este întotdeauna finită.
Mulțimea multiplilor naturali ai unui număr \( a \) se notează cu \( \mathcal{M}_a \). Această mulțime este infinită.
- Divizorii lui 18: \( \mathcal{D}_{18} = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} \)
- Multiplii lui 18: \( \mathcal{M}_{18} = \{0, 18, 36, 54, 72, \dots\} \)
Pentru orice număr natural \( a \ge 2 \), divizorii \( 1 \) și \( a \) se numesc divizori improprii.
Divizorii numărului natural \( a \) diferiți de \( 1 \) și \( a \) se numesc divizori proprii.
Pentru orice număr natural \( a \), sunt mereu adevărate relațiile:
\[ 1 \mid a \quad \text{și} \quad a \mid a \]
Pentru numărul \( 6 \) avem divizorii \( \mathcal{D}_6 = \{1, 2, 3, 6\} \):
- Divizorii improprii sunt: \( 1 \) și \( 6 \).
- Divizorii proprii sunt: \( 2 \) și \( 3 \).
Pentru a verifica dacă un număr natural \( a \) este divizibil cu un număr natural nenul \( b \), efectuăm împărțirea \( a : b \):
- Dacă restul este \( 0 \), atunci \( a \) se divide cu \( b \) (\( a \vdots b \)).
- Dacă restul este diferit de \( 0 \), atunci \( a \) nu se divide cu \( b \) (\( a \not\vdots b \)).
Verificați dacă numărul \( 258 \) este divizibil cu \( 6 \).
Efectuăm împărțirea:
\[ 258 : 6 = 43 \text{ rest } 0 \]
Deoarece restul este \( 0 \), rezultă că \( 258 \) este divizibil cu \( 6 \) (\( 258 \vdots 6 \)).
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Scrieți elementele mulțimii \( \mathcal{D}_{20} \) și precizați divizorii proprii ai numărului \( 20 \).
Găsim toate numerele la care \( 20 \) se împarte exact:
\[ \mathcal{D}_{20} = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\} \]
Divizorii improprii sunt \( 1 \) și \( 20 \).
Divizorii proprii sunt cei rămași: \( 2, 4, 5, 10 \).
Problema 2 (Medie): Determinați toți multiplii numărului \( 9 \) care sunt situați între \( 20 \) și \( 70 \).
Multiplii lui \( 9 \) sunt de forma \( 9 \cdot k \), unde \( k \in \mathbb{N} \):
\[ 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, \dots \]
Selectăm doar multiplii care respectă condiția \( 20 < M < 70 \):
\[ 27, 36, 45, 54, 63 \]
Problema 3 (Dificilă): Arătați că numărul \( n = 2^{25} - 3 \cdot 2^{20} + 5 \cdot 2^{21} \) este divizibil cu \( 13 \).
Dăm factor comun puterea cea mai mică a lui 2, adică \( 2^{20} \):
\[ n = 2^{20} \cdot (2^{5} - 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2^{1}) \]
Calculăm valoarea din paranteză:
\[ 2^5 = 32 \]
\[ 5 \cdot 2^1 = 10 \]
\[ 32 - 3 + 10 = 29 + 10 = 39 \]
Scriem numărul sub formă de produs:
\[ n = 2^{20} \cdot 39 \]
Deoarece \( 39 = 13 \cdot 3 \), numărul devine:
\[ n = 2^{20} \cdot 3 \cdot 13 = 13 \cdot (3 \cdot 2^{20}) \]
Deoarece am exprimat numărul \( n \) ca un produs în care unul dintre factori este \( 13 \), rezultă că \( n \) este divizibil cu \( 13 \) (\( n \vdots 13 \)).
