III.5.1. Subiectul Al II-Lea

Pentru a determina numărul maxim de pachete identice care se pot forma, trebuie să găsim cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numărului de fructe din fiecare categorie: 75 de pere, 45 de banane și 105 de mere.

Determinăm divizorii fiecărui număr

Vom scrie mulțimile de divizori pentru fiecare număr de fructe prin enumerare: \( \mathcal{D}_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\} \) \( \mathcal{D}_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} \) \( \mathcal{D}_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\} \)

Găsim divizorii comuni și cel mai mare divizor comun

Intersectăm cele trei mulțimi pentru a vedea ce numere de pachete sunt posibile: \( \mathcal{D}_{75} \cap \mathcal{D}_{45} \cap \mathcal{D}_{105} = \{1, 3, 5, 15\} \) Divizorii comuni reprezintă numărul de pachete care s-ar putea face astfel încât fructele să fie distribuite în mod egal. Deoarece problema cere numărul maxim de pachete, alegem cel mai mare element din această intersecție. \( \text{c.m.m.d.c.}(75, 45, 105) = 15 \)

Calculul detaliat pentru aflarea divizorilor

Putem verifica împărțirile pentru a ne asigura că 15 este divizor comun: \[ \begin{array}{} & 75 & : & 15 & = 5 \\ & -75 \\ & 0 \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{} & 45 & : & 15 & = 3 \\ & -45 \\ & 0 \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{} & 105 & : & 15 & = 7 \\ & -105 \\ & 0 \\ \end{array} \] Fiecare dintre cele 15 pachete va conține 5 pere, 3 banane și 7 mere. Numărul maxim de pachete este 15, ceea ce corespunde variantei b).

\( \mathcal{D}_{75} = \{1, 3, 5, 15, 25, 75\} \) \( \mathcal{D}_{45} = \{1, 3, 5, 9, 15, 45\} \) \( \mathcal{D}_{105} = \{1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105\} \) \( \mathcal{D}_{75} \cap \mathcal{D}_{45} \cap \mathcal{D}_{105} = \{1, 3, 5, 15\} \) \( \text{c.m.m.d.c.} = 15 \Rightarrow \) b)