Cele mai importante aspecte ale lecției
- Împărțirea cu rest se realizează când un număr nu se împarte exact. Forma generală este: \( d : î = c \text{ (rest } r) \).
- Condiția obligatorie a restului: Restul este mereu mai mic decât împărțitorul (\( r < î \)).
- Proba împărțirii: Se realizează prin relația \( d = c \times î + r \). De exemplu, pentru \( 32 : 5 = 6 \text{ (rest 2)} \), proba este \( 6 \times 5 + 2 = 30 + 2 = 32 \).
O împărțire cu rest diferit de zero are loc atunci când un număr nu se împarte exact la un alt număr. Rezultatul constă într-un cât și un rest.
Într-o împărțire cu rest, componentele sunt:
\[ d : î = c \text{ (rest } r) \]
- d = deîmpărțitul (numărul care se împarte)
- î = împărțitorul (numărul la care se împarte)
- c = câtul (rezultatul împărțirii)
- r = restul (ceea ce rămâne)
Restul (\(r\)) trebuie să fie întotdeauna un număr natural mai mic decât împărțitorul (\(î\)):
\[ r < î \]
Dacă avem 26 de globuri și le grupăm în ornamente de câte 3, obținem 8 ornamente complete și ne rămân 2 globuri.
\[ 26 : 3 = 8 \text{ (rest 2)} \]
Aici, deîmpărțitul este \(26\), împărțitorul este \(3\), câtul este \(8\), iar restul este \(2\). Observăm că restul este mai mic decât împărțitorul (\(2 < 3\)).
Pentru a verifica dacă o împărțire cu rest a fost efectuată corect, determinăm dacă deîmpărțitul este egal cu suma dintre produsul câtului cu împărțitorul și restul.
\[ d = c \times î + r \]
unde \( r < î \)
Dacă avem împărțirea \( 27 : 6 = 4 \text{ (rest 3)} \), facem proba astfel:
\[ 4 \times 6 + 3 = 24 + 3 = 27 \]
Deoarece rezultatul este egal cu deîmpărțitul (\(27\)) și restul este mai mic decât împărțitorul (\(3 < 6\)), împărțirea este corectă.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Aflați câtul și restul împărțirii numărului \( 66 \) la \( 8 \).
Căutăm cel mai mare număr care, înmulțit cu \(8\), dă un rezultat mai mic sau egal cu \(66\).
Acesta este \(8\), deoarece \(8 \times 8 = 64\).
Calculăm restul ca diferență: \(66 - 64 = 2\).
Scriem rezultatul sub forma: \(66 : 8 = 8 \text{ (rest 2)}\).
Efectuăm proba pentru siguranță: \(8 \times 8 + 2 = 64 + 2 = 66\). Condiția \(2 < 8\) este îndeplinită.
Răspuns: Câtul este \(8\), iar restul este \(2\).
Acesta este \(8\), deoarece \(8 \times 8 = 64\).
Calculăm restul ca diferență: \(66 - 64 = 2\).
Scriem rezultatul sub forma: \(66 : 8 = 8 \text{ (rest 2)}\).
Efectuăm proba pentru siguranță: \(8 \times 8 + 2 = 64 + 2 = 66\). Condiția \(2 < 8\) este îndeplinită.
Răspuns: Câtul este \(8\), iar restul este \(2\).
Problema 2 (Medie): Prin împărțirea unui număr natural la \( 7 \) se obține câtul \( 8 \) și restul \( 5 \). Determină numărul.
Notăm deîmpărțitul cu \(d\). Cunoaștem:
Răspuns: Numărul căutat este \(61\).
- împărțitorul (\(î\)) = \(7\)
- câtul (\(c\)) = \(8\)
- restul (\(r\)) = \(5\) (observăm că restul este valid deoarece \(5 < 7\))
Răspuns: Numărul căutat este \(61\).
Problema 3 (Dificilă): Află toate numerele naturale care, împărțite la \( 5 \), dau câtul \( 6 \) și un rest diferit de zero.
Fie \(d\) numărul căutat. Relația împărțirii este:
\[ d : 5 = 6 \text{ (rest } r) \implies d = 6 \times 5 + r \]
Condițiile pentru restul \(r\) sunt:
Calculăm deîmpărțitul pentru fiecare caz:
Răspuns: Numerele căutate sunt \(31, 32, 33, 34\).
- Să fie diferit de zero: \(r \neq 0\)
- Să fie strict mai mic decât împărțitorul (\(5\)): \(r < 5\)
Calculăm deîmpărțitul pentru fiecare caz:
- Dacă \( r = 1 \implies d = 6 \times 5 + 1 = 30 + 1 = 31 \)
- Dacă \( r = 2 \implies d = 6 \times 5 + 2 = 30 + 2 = 32 \)
- Dacă \( r = 3 \implies d = 6 \times 5 + 3 = 30 + 3 = 33 \)
- Dacă \( r = 4 \implies d = 6 \times 5 + 4 = 30 + 4 = 34 \)
Răspuns: Numerele căutate sunt \(31, 32, 33, 34\).
