Cele mai importante aspecte ale lecției
Rezolvarea problemelor aritmetice necesită organizare și atenție la limbaj:
• Extrageți cu atenție datele cunoscute și cerința.
• Întocmiți un plan de rezolvare calculând pas cu pas mărimile intermediare până ajungeți la rezultat.
• Cuvintele cheie dictează operațiile matematice: „cu... mai mult/puțin” indică \(\pm\), în timp ce „de... ori mai mult/puțin” indică \(\cdot\) sau \(:\) .
• Extrageți cu atenție datele cunoscute și cerința.
• Întocmiți un plan de rezolvare calculând pas cu pas mărimile intermediare până ajungeți la rezultat.
• Cuvintele cheie dictează operațiile matematice: „cu... mai mult/puțin” indică \(\pm\), în timp ce „de... ori mai mult/puțin” indică \(\cdot\) sau \(:\) .
Rezolvarea oricărei probleme matematice cu text presupune parcurgerea ordonată a unor etape logice.
Datele problemei (Ce știm): Extragerea informațiilor numerice cunoscute și notarea relațiilor dintre ele.
Cerința (Ce vrem să aflăm): Identificarea întrebării problemei sau a necunoscutei finale.
Planul de rezolvare (Am aflat): Formularea pașilor de calcul prin operații aritmetice, în ordinea logică, pentru a ajunge la rezultatul final.
Problemă: S-au cumpărat cărți de \( 130 \) lei și caiete care costă de două ori mai mult. S-a plătit cu o bancnotă de \( 500 \) lei. Ce rest s-a primit?
1. Date: Cărți \( \rightarrow 130 \) lei; Caiete \( \rightarrow \) de 2 ori mai mult; Plată \( \rightarrow 500 \) lei.
2. Cerință: Restul primit \( \rightarrow ? \)
3. Plan:
a) Cât costă caietele? \( 130 \cdot 2 = 260 \) (lei)
b) Cât costă cumpărăturile în total? \( 130 + 260 = 390 \) (lei)
c) Care este restul? \( 500 - 390 = 110 \) (lei)
1. Date: Cărți \( \rightarrow 130 \) lei; Caiete \( \rightarrow \) de 2 ori mai mult; Plată \( \rightarrow 500 \) lei.
2. Cerință: Restul primit \( \rightarrow ? \)
3. Plan:
a) Cât costă caietele? \( 130 \cdot 2 = 260 \) (lei)
b) Cât costă cumpărăturile în total? \( 130 + 260 = 390 \) (lei)
c) Care este restul? \( 500 - 390 = 110 \) (lei)
Pentru a rezolva corect o problemă, trebuie să „traducem” cuvintele în operații matematice.
| Expresie în cuvinte | Operație matematică | Exemplu calcul (\( x = 100 \)) |
|---|---|---|
| „în total”, „la un loc”, „cu ... mai mult” | Adunare (\( + \)) | cu \( 5 \) mai mult: \( 100 + 5 = 105 \) |
| „restul”, „cu ... mai puțin”, „diferența” | Scădere (\( - \)) | cu \( 5 \) mai puțin: \( 100 - 5 = 95 \) |
| „de ... ori mai mult”, „produsul” | Înmulțire (\( \cdot \)) | de \( 5 \) ori mai mult: \( 100 \cdot 5 = 500 \) |
| „de ... ori mai puțin”, „o doime / zecime” | Împărțire (\( : \)) | de \( 5 \) ori mai puțin: \( 100 : 5 = 20 \) |
Nu confundați „cu ... mai mult / puțin” (care indică adunare / scădere) cu „de ... ori mai mult / puțin” (care indică înmulțire / împărțire).
Exerciții
Ușoară: Trei copii, Clara, Rafael și Delia, au de rezolvat câte 100 de probleme pentru vacanță.
• Clara a rezolvat 30 de probleme.
• Rafael a rezolvat de 2 ori mai multe decât Clara.
• Delia a rezolvat cu 20 de probleme mai puțin decât Rafael.
Câte probleme mai are de rezolvat fiecare copil până la finalizarea celor 100?
• Clara a rezolvat 30 de probleme.
• Rafael a rezolvat de 2 ori mai multe decât Clara.
• Delia a rezolvat cu 20 de probleme mai puțin decât Rafael.
Câte probleme mai are de rezolvat fiecare copil până la finalizarea celor 100?
Clara:
Are de rezolvat: \( 100 - 30 = 70 \) probleme.
Rafael:
A rezolvat: \( 30 \cdot 2 = 60 \) probleme.
Are de rezolvat: \( 100 - 60 = 40 \) probleme.
Delia:
A rezolvat: \( 60 - 20 = 40 \) probleme.
Are de rezolvat: \( 100 - 40 = 60 \) probleme.
Are de rezolvat: \( 100 - 30 = 70 \) probleme.
Rafael:
A rezolvat: \( 30 \cdot 2 = 60 \) probleme.
Are de rezolvat: \( 100 - 60 = 40 \) probleme.
Delia:
A rezolvat: \( 60 - 20 = 40 \) probleme.
Are de rezolvat: \( 100 - 40 = 60 \) probleme.
Medie: Într-un depozit, cantitatea de \( 16\,824 \) kg de roșii s-a ambalat în lădițe a câte \( 8 \) kg, iar cantitatea de \( 9\,121 \) kg de castraveți s-a ambalat în lădițe a câte \( 7 \) kg. Dacă în depozit erau inițial \( 3\,500 \) de lădițe goale, află câte lădițe au mai rămas nefolosite după ambalarea legumelor.
1) Câte lădițe s-au folosit pentru roșii?
\( 16\,824 : 8 = 2\,103 \) (lădițe)
2) Câte lădițe s-au folosit pentru castraveți?
\( 9\,121 : 7 = 1\,303 \) (lădițe)
3) Câte lădițe s-au folosit în total?
\( 2\,103 + 1\,303 = 3\,406 \) (lădițe)
4) Câte lădițe au rămas?
\( 3\,500 - 3\,406 = 94 \) (lădițe)
Răspuns: Au mai rămas 94 de lădițe.
\( 16\,824 : 8 = 2\,103 \) (lădițe)
2) Câte lădițe s-au folosit pentru castraveți?
\( 9\,121 : 7 = 1\,303 \) (lădițe)
3) Câte lădițe s-au folosit în total?
\( 2\,103 + 1\,303 = 3\,406 \) (lădițe)
4) Câte lădițe au rămas?
\( 3\,500 - 3\,406 = 94 \) (lădițe)
Răspuns: Au mai rămas 94 de lădițe.
Dificilă: Un magazin a avut vineri \( 1\,268 \) de cumpărători, iar sâmbătă, de \( 5 \) ori mai mulți. Câți cumpărători a avut magazinul duminică, dacă se știe că în cele trei zile au fost în total \( 10\,000 \) de cumpărători? Alegeți apoi expresia numerică ce reunește toate operațiile într-un singur calcul:
a) \( 10\,000 - 1\,268 \cdot 5 \)
b) \( 10\,000 - (1\,268 + 1\,268 \cdot 5) \)
c) \( 10\,000 - 1\,268 + 1\,268 \cdot 5 \)
a) \( 10\,000 - 1\,268 \cdot 5 \)
b) \( 10\,000 - (1\,268 + 1\,268 \cdot 5) \)
c) \( 10\,000 - 1\,268 + 1\,268 \cdot 5 \)
1) Câți cumpărători au fost sâmbătă?
\( 1\,268 \cdot 5 = 6\,340 \)
2) Câți cumpărători au fost vineri și sâmbătă la un loc?
\( 1\,268 + 6\,340 = 7\,608 \)
3) Câți cumpărători au fost duminică (restul până la total)?
\( 10\,000 - 7\,608 = 2\,392 \)
Răspuns: Duminică au fost \( 2\,392 \) de cumpărători.
Expresia corectă: b) \( 10\,000 - (1\,268 + 1\,268 \cdot 5) \), deoarece din total scădem suma cumpărătorilor din primele două zile.
\( 1\,268 \cdot 5 = 6\,340 \)
2) Câți cumpărători au fost vineri și sâmbătă la un loc?
\( 1\,268 + 6\,340 = 7\,608 \)
3) Câți cumpărători au fost duminică (restul până la total)?
\( 10\,000 - 7\,608 = 2\,392 \)
Răspuns: Duminică au fost \( 2\,392 \) de cumpărători.
Expresia corectă: b) \( 10\,000 - (1\,268 + 1\,268 \cdot 5) \), deoarece din total scădem suma cumpărătorilor din primele două zile.
Provocare logică: Suma vârstelor fraților Ionescu este acum de \( 44 \) de ani. Acum \( 7 \) ani, suma vârstelor lor era de doar \( 9 \) ani. Câți frați sunt în familia Ionescu?
Diferența dintre suma vârstelor de acum și suma vârstelor de acum \( 7 \) ani este:
\( 44 - 9 = 35 \) de ani.
Această diferență de \( 35 \) de ani provine din faptul că, în acești \( 7 \) ani care au trecut, fiecare frate a îmbătrânit cu \( 7 \) ani.
Pentru a afla numărul de frați, împărțim diferența totală de ani la numărul de ani cu care a crescut fiecare:
\( 35 : 7 = 5 \)
Răspuns: Sunt 5 frați.
\( 44 - 9 = 35 \) de ani.
Această diferență de \( 35 \) de ani provine din faptul că, în acești \( 7 \) ani care au trecut, fiecare frate a îmbătrânit cu \( 7 \) ani.
Pentru a afla numărul de frați, împărțim diferența totală de ani la numărul de ani cu care a crescut fiecare:
\( 35 : 7 = 5 \)
Răspuns: Sunt 5 frați.
