Cele mai importante aspecte ale lecției
Puterea cu exponent natural reprezintă o scriere prescurtată a unui produs de factori egali: \( a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ ori}} \).
Proprietăți cheie:
Proprietăți cheie:
- Orice număr nenul la puterea 0 este 1: \( a^0 = 1 \) (Exemplu: \( 123^0 = 1 \)).
- Orice număr la puterea 1 este el însuși: \( a^1 = a \) (Exemplu: \( 8^1 = 8 \)).
- Baza 0 la orice putere nenulă este 0: \( 0^n = 0 \) (Exemplu: \( 0^{5} = 0 \)).
- Ordinea operațiilor: Ridicarea la putere (ordinul III) se efectuează înaintea înmulțirilor/împărțirilor (ordinul II) și a adunărilor/scăderilor (ordinul I).
Dacă \( a \) și \( n \) sunt numere naturale (cu \( n \ge 1 \)), atunci produsul a \( n \) factori egali cu \( a \) se notează \( a^n \) și se citește „\( a \) la puterea \( n \)”.
Baza puterii (numărul \( a \)) indică factorul care se înmulțește cu el însuși.
Exponentul puterii (numărul \( n \)) indică de câte ori se repetă factorul în înmulțire.
\[ \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ factori}} = a^n \]
- \( 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 \) (citit „2 la puterea a treia” sau „2 la cub”). Baza este 2, exponentul este 3.
- \( 5 \cdot 5 = 5^2 \) (citit „5 la puterea a doua” sau „5 la pătrat”). Baza este 5, exponentul este 2.
- \( (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) \cdot (x + y) = (x + y)^4 \). Baza este \( x + y \), exponentul este 4.
Scrieți sub formă de putere produsul \( 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \) și precizați baza și exponentul acestuia.
Produsul are 5 factori egali cu 7, deci scrierea sub formă de putere este \( 7^5 \).
Baza este 7, iar exponentul este 5.
Baza este 7, iar exponentul este 5.
Orice număr natural \( a \) diferit de zero ridicat la puterea \( 0 \) este egal cu \( 1 \):
\[ a^0 = 1 \]
Orice număr natural \( a \) ridicat la puterea \( 1 \) este egal cu el însuși:
\[ a^1 = a \]
Numărul \( 0 \) ridicat la orice putere naturală \( n \) diferită de zero este egal cu \( 0 \):
\[ 0^n = 0, \text{ pentru orice } n \neq 0 \]
Operația \( 0^0 \) nu are sens.
- \( 2025^0 = 1 \)
- \( 9^1 = 9 \)
- \( 0^{2023} = 0 \)
Calculați valoarea sumei: \( 15^1 + 254^0 + 0^8 \).
Calculăm fiecare termen în parte:
- \( 15^1 = 15 \)
- \( 254^0 = 1 \)
- \( 0^8 = 0 \)
Ridicarea la putere este o operație de ordinul al treilea.
Într-un exercițiu fără paranteze, operațiile de ridicare la putere se efectuează primele (înaintea înmulțirilor și împărțirilor, care sunt de ordinul al doilea, și înaintea adunărilor și scăderilor, care sunt de ordinul întâi).
Calculul expresiei \( 1\,000 - 10^2 + 7^0 - 100^1 \):
\[ 1\,000 - 100 + 1 - 100 = 900 + 1 - 100 = 901 - 100 = 801 \]
Calculați valoarea expresiei: \( 3^2 + 2^3 \cdot 5 - 1^{10} \).
1. Mai întâi calculăm puterile:
2. Efectuăm înmulțirea:
3. Efectuăm adunarea și scăderea în ordinea în care sunt scrise:
- \( 3^2 = 9 \)
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 1^{10} = 1 \)
2. Efectuăm înmulțirea:
- \( 8 \cdot 5 = 40 \)
3. Efectuăm adunarea și scăderea în ordinea în care sunt scrise:
- \( 9 + 40 = 49 \)
- \( 49 - 1 = 48 \)
Probleme propuse
Problema 1 (Ușoară): Calculați următoarele puteri:
a) \( 3^4 \)
b) \( 10^5 \)
c) \( 2026^0 + 1^{2026} \)
a) \( 3^4 \)
b) \( 10^5 \)
c) \( 2026^0 + 1^{2026} \)
a) \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \)
b) \( 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000 \)
c) Deoarece orice număr la puterea \( 0 \) este \( 1 \) și \( 1 \) la orice putere este \( 1 \), avem: \[ 2026^0 + 1^{2026} = 1 + 1 = 2 \]
b) \( 10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100\,000 \)
c) Deoarece orice număr la puterea \( 0 \) este \( 1 \) și \( 1 \) la orice putere este \( 1 \), avem: \[ 2026^0 + 1^{2026} = 1 + 1 = 2 \]
Problema 2 (Medie): Efectuați calculele respectând ordinea operațiilor:
\[ (2^3 + 5^3) \cdot 10^2 - 7^3 \]
1. Calculăm puterile din paranteză și celelalte puteri:
- \( 2^3 = 8 \)
- \( 5^3 = 125 \)
- \( 10^2 = 100 \)
- \( 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343 \)
Problema 3 (Dificilă): Determinați perechile de numere naturale \( (x, y) \), știind că:
\[ 2^x + 5^y = 33 \]
Analizăm valorile posibile pentru termenul \( 5^y \), deoarece puterile lui 5 cresc rapid și trebuie să fie mai mici sau egale cu 33:
- Dacă \( y = 0 \Rightarrow 5^0 = 1 \). Expresia devine: \[ 2^x + 1 = 33 \Rightarrow 2^x = 32 \Rightarrow 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5 \] Obținem prima pereche de soluții: \( (5, 0) \).
- Dacă \( y = 1 \Rightarrow 5^1 = 5 \). Expresia devine: \[ 2^x + 5 = 33 \Rightarrow 2^x = 28 \] Deoarece 28 nu este o putere naturală a lui 2, nu avem soluții în acest caz.
- Dacă \( y = 2 \Rightarrow 5^2 = 25 \). Expresia devine: \[ 2^x + 25 = 33 \Rightarrow 2^x = 8 \Rightarrow 2^x = 2^3 \Rightarrow x = 3 \] Obținem a doua pereche de soluții: \( (3, 2) \).
- Dacă \( y \ge 3 \Rightarrow 5^y \ge 125 > 33 \), deci nu mai există alte soluții.
