Cele mai importante aspecte ale lecției
Scoaterea factorului comun ne permite să simplificăm calculele matematice transformând o sumă sau diferență de produse într-un singur produs:
- Formula de bază: \( ab + ac = a(b+c) \)
- Când un termen este chiar factorul comun, îl scriem ca \( a \cdot 1 \). Exemplu: \( 15 \cdot 9 + 15 = 15 \cdot (9 + 1) = 150 \).
- Paritate: Un produs este par dacă conține cel puțin un factor par și este impar doar dacă toți factorii săi sunt impari.
Dacă într-o sumă sau diferență de produse un număr apare ca factor la fiecare termen, acesta se numește factor comun.
Scoaterea factorului comun reprezintă scrierea distributivității înmulțirii față de adunare sau scădere de la dreapta la stânga:
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]
\[ a \cdot b - a \cdot c = a(b - c), \quad \text{unde } b \geq c \]
Calculați mai simplu: \( 12 \cdot 5 + 12 \cdot 9 \).
Identificăm factorul comun ca fiind \( 12 \). \[ 12 \cdot 5 + 12 \cdot 9 = 12 \cdot (5 + 9) = 12 \cdot 14 = 168 \]
Identificăm factorul comun ca fiind \( 12 \). \[ 12 \cdot 5 + 12 \cdot 9 = 12 \cdot (5 + 9) = 12 \cdot 14 = 168 \]
Calculați, dând factor comun: \( 107 \cdot 51 - 107 \cdot 49 \).
Scoatem pe \( 107 \) factor comun:
\[ 107 \cdot 51 - 107 \cdot 49 = 107 \cdot (51 - 49) = 107 \cdot 2 = 214 \]
Dacă unul dintre termeni este reprezentat doar de numărul pe care doriți să îl scoateți factor comun, acesta se consideră înmulțit cu 1.
\[ a \cdot b \pm a = a \cdot b \pm a \cdot 1 = a(b \pm 1) \]
\( 98 \cdot 105 - 98 \cdot 42 + 98 = 98 \cdot 105 - 98 \cdot 42 + 98 \cdot 1 = 98(105 - 42 + 1) = 98 \cdot 64 = 6272 \)
Calculați rapid: \( 43 \cdot 99 + 43 \).
Scriem termenul \( 43 \) ca \( 43 \cdot 1 \):
\[ 43 \cdot 99 + 43 \cdot 1 = 43 \cdot (99 + 1) = 43 \cdot 100 = 4300 \]
Produsul a două numere naturale este par dacă cel puțin unul dintre factori este par.
Exemplu: \( 15 \cdot 8 = 120 \) (rezultat par, deoarece \( 8 \) este par).
Exemplu: \( 15 \cdot 8 = 120 \) (rezultat par, deoarece \( 8 \) este par).
Produsul a două numere naturale este impar dacă ambele numere sunt impare.
Exemplu: \( 7 \cdot 9 = 63 \) (rezultat impar, deoarece atât \( 7 \), cât și \( 9 \) sunt impare).
Exemplu: \( 7 \cdot 9 = 63 \) (rezultat impar, deoarece atât \( 7 \), cât și \( 9 \) sunt impare).
Fără a efectua înmulțirea, stabiliți paritatea numărului \( A = 13 \cdot 25 \cdot 47 \cdot 2 \).
Deoarece unul dintre factori este \( 2 \), care este număr par, întregul produs va fi par.
Probleme practice
Problema 1 (Ușoară): Calculați folosind scoaterea factorului comun:
\[ 537 \cdot 38 + 537 \cdot 42 + 537 \cdot 20 \]
Identificăm factorul comun ca fiind \( 537 \).
\[ 537 \cdot (38 + 42 + 20) = 537 \cdot 100 = 53700 \]
Problema 2 (Medie): Știind că \( a = 45 \) și \( b + c = 922 \), calculați valoarea expresiei \( a \cdot b + a \cdot c \).
Mai întâi scoatem pe \( a \) factor comun în expresie:
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]
Înlocuim valorile cunoscute din ipoteză (\( a = 45 \) și \( b + c = 922 \)):
\[ 45 \cdot 922 = 41490 \]
Problema 3 (Medie): Determinați suma \( a + b + c \), știind că:
\[ 7a + 7b + 7c = 35 \]
Scoatem pe \( 7 \) factor comun în partea stângă a egalității:
\[ 7(a + b + c) = 35 \]
Pentru a afla paranteza \( a + b + c \), împărțim rezultatul la \( 7 \):
\[ a + b + c = 35 : 7 = 5 \]
Răspuns: \( a + b + c = 5 \)
Problema 4 (Dificilă): Calculați suma următoare, dând mai întâi factor comun:
\[ S = 5 + 10 + 15 + 20 + \dots + 500 \]
Observăm că fiecare termen al sumei este un multiplu de \( 5 \). Putem scrie termenii astfel:
\[ S = 5 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + \dots + 5 \cdot 100 \]
Scoatem pe \( 5 \) factor comun:
\[ S = 5 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 100) \]
Suma din paranteză este o sumă Gauss, care se calculează după formula \( \frac{n(n+1)}{2} \):
\[ 1 + 2 + 3 + \dots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 50 \cdot 101 = 5050 \]
Calculăm valoarea finală a lui \( S \):
\[ S = 5 \cdot 5050 = 25250 \]
