Cele mai importante aspecte ale lecției
- Procent: O fracție cu numitorul 100, scrisă ca \(p\%\). Exemplu: \(\frac{40}{100} = 40\%\).
- Fracții echivalente: Reprezintă aceeași parte dintr-un întreg. Două fracții sunt egale dacă produsele pe diagonală sunt egale: \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c\). Exemplu: \(\frac{2}{3} = \frac{8}{12}\) deoarece \(2 \cdot 12 = 3 \cdot 8 = 24\).
- Definirea fracției: Numitorul unei fracții nu poate fi niciodată zero. Exemplu: \(\frac{3}{x-1}\) este definită pentru orice \(x \neq 1\).
- Clasificarea fracțiilor:
- Subunitară: numărător < numitor (ex. \(\frac{3}{5}\));
- Echiunitară: numărător = numitor (ex. \(\frac{7}{7}\));
- Supraunitară: numărător > numitor (ex. \(\frac{9}{4}\)).
O fracție care are numitorul egal cu 100 se numește procent.
O fracție de forma \(\frac{p}{100}\) se scrie sub forma \(p\%\) și se citește „\(p\) la sută” sau „\(p\) procente”.
\[ \frac{5}{100} = 5\%; \quad \frac{25}{100} = 25\%; \quad \frac{100}{100} = 100\%; \quad \frac{150}{100} = 150\%. \]
Scrieți fracția \(\frac{73}{100}\) sub formă de procent.
Fracția cu numitorul 100 se scrie direct folosind simbolul \(\%\):
\[ \frac{73}{100} = 73\% \]
Două fracții care reprezintă aceeași parte dintr-un întreg se numesc fracții echivalente.
Două fracții \(\frac{a}{b}\) și \(\frac{c}{d}\) (cu \(b \neq 0\) și \(d \neq 0\)) sunt echivalente (egale) și scriem \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\), dacă și numai dacă:
\[ a \cdot d = b \cdot c \]
Dacă produsele încrucișate nu sunt egale, atunci fracțiile nu sunt echivalente:
\[ \frac{a}{b} \neq \frac{c}{d} \iff a \cdot d \neq b \cdot c \]
- \(\frac{5}{2} = \frac{15}{6}\) deoarece \(5 \cdot 6 = 2 \cdot 15 = 30\).
- \(\frac{5}{13} \neq \frac{20}{39}\) deoarece \(5 \cdot 39 = 195\), iar \(13 \cdot 20 = 260\) (\(195 \neq 260\)).
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracțiile \(\frac{x}{5}\) și \(\frac{12}{20}\) sunt echivalente.
Pentru ca fracțiile să fie echivalente, aplicăm egalitatea produselor încrucișate:
\[ x \cdot 20 = 5 \cdot 12 \]
\[ 20x = 60 \]
\[ x = 60 : 20 \implies x = 3 \]
O fracție de forma \(\frac{a}{b}\) are sens (este definită) doar dacă numitorul ei este diferit de zero (\(b \neq 0\)).
O fracție ordinară \(\frac{a}{b}\) poate fi:
- Subunitară: dacă numărătorul este mai mic decât numitorul (\(a < b\)).
- Echiunitară: dacă numărătorul este egal cu numitorul (\(a = b\)).
- Supraunitară: dacă numărătorul este mai mare decât numitorul (\(a > b\)).
- Fracția \(\frac{5}{x - 2}\) nu este definită dacă numitorul este \(0\), adică \(x - 2 = 0 \implies x = 2\).
- Fracția \(\frac{x^2 + 1}{9}\) este subunitară dacă \(x^2 + 1 < 9 \implies x^2 < 8 \implies x \in \{0, 1, 2\}\).
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracția \(\frac{205}{20x + 5}\) este echiunitară.
O fracție este echiunitară dacă numărătorul este egal cu numitorul:
\[ 205 = 20x + 5 \]
\[ 20x = 205 - 5 \]
\[ 20x = 200 \]
\[ x = 200 : 20 \implies x = 10 \]
Probleme practice
Problema 1 (Dificultate: Ușoară)
a) Scrieți fracția \(\frac{19}{100}\) sub formă de procent.
b) Stabiliți dacă fracțiile \(\frac{3}{8}\) și \(\frac{9}{24}\) sunt echivalente.
a) Scrieți fracția \(\frac{19}{100}\) sub formă de procent.
b) Stabiliți dacă fracțiile \(\frac{3}{8}\) și \(\frac{9}{24}\) sunt echivalente.
a) Fracția \(\frac{19}{100}\) scrisă sub formă de procent este \(19\%\).
b) Verificăm egalitatea produselor pe diagonală: \[ 3 \cdot 24 = 72 \] \[ 8 \cdot 9 = 72 \] Deoarece ambele produse sunt egale cu 72, înseamnă că fracțiile sunt echivalente: \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\).
b) Verificăm egalitatea produselor pe diagonală: \[ 3 \cdot 24 = 72 \] \[ 8 \cdot 9 = 72 \] Deoarece ambele produse sunt egale cu 72, înseamnă că fracțiile sunt echivalente: \(\frac{3}{8} = \frac{9}{24}\).
Problema 2 (Dificultate: Medie)
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracția \(\frac{2x + 1}{x + 5}\) este supraunitară.
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracția \(\frac{2x + 1}{x + 5}\) este supraunitară.
Pentru ca o fracție să fie supraunitară, numărătorul trebuie să fie strict mai mare decât numitorul:
\[ 2x + 1 > x + 5 \]
Scădem \(x\) din ambele părți ale inegalității:
\[ 2x - x + 1 > 5 \]
\[ x + 1 > 5 \]
Scădem 1 din ambele părți:
\[ x > 4 \]
Deoarece \(x\) este un număr natural, soluțiile sunt:
\[ x \in \{5, 6, 7, 8, \dots\} \]
Problema 3 (Dificultate: Dificilă)
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracțiile \(\frac{3x - 4}{x}\) și \(\frac{5}{2}\) sunt echivalente.
Determinați numărul natural \(x\) pentru care fracțiile \(\frac{3x - 4}{x}\) și \(\frac{5}{2}\) sunt echivalente.
Pentru ca fracțiile să fie echivalente, produsele încrucișate trebuie să fie egale:
\[ 2 \cdot (3x - 4) = 5 \cdot x \]
Desfacem paranteza din membrul stâng:
\[ 6x - 8 = 5x \]
Scădem \(5x\) din ambele părți:
\[ 6x - 5x - 8 = 0 \]
\[ x - 8 = 0 \implies x = 8 \]
Verificăm numitorul: pentru \(x = 8\), numitorul este nenul, deci fracția este bine definită.
Răspuns: \(x = 8\).
Răspuns: \(x = 8\).
