Cele mai importante aspecte ale lecției
- Amplificarea reprezintă înmulțirea numărătorului și a numitorului cu același număr natural nenul \(n\). Fracția obținută este echivalentă cu cea inițială. Exemplu: \(\overset{2)}{\frac{3}{5}} = \frac{6}{10}\).
- Simplificarea reprezintă împărțirea numărătorului și a numitorului la un divizor comun al lor \(n \neq 1\). Exemplu: \(\frac{12^{(4}}{16} = \frac{3}{4}\).
- O fracție este ireductibilă dacă nu mai poate fi simplificată (numărătorul și numitorul sunt numere prime între ele). Putem ajunge la o fracție ireductibilă fie prin simplificări succesive, fie prin simplificare directă cu cel mai mare divizor comun.
A amplifica o fracție cu un număr natural nenul înseamnă a înmulți atât numărătorul, cât și numitorul fracției cu acel număr.
\[ \overset{n)}{\frac{a}{b}} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \]
unde \(a, b, n\) sunt numere naturale, \(b \neq 0\) și \(n \neq 0\).
Prin amplificare se obține o fracție echivalentă (egală ca valoare) cu fracția inițială.
\[ \overset{3)}{\frac{2}{3}} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} \]
\[ \overset{4)}{\frac{5}{4}} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{20}{16} \]
A simplifica o fracție cu un număr natural nenul înseamnă a împărți atât numărătorul, cât și numitorul fracției la acel număr.
Numărul la care se simplifică (notat cu \(n\)) trebuie să fie obligatoriu un divizor comun al numărătorului și al numitorului.
\[ \frac{a^{(n}}{b} = \frac{a : n}{b : n} \]
unde \(a, b, n\) sunt numere naturale, \(b \neq 0, n \neq 0\), iar \(n\) este divizor comun al lui \(a\) și \(b\).
\[ \frac{15^{(3}}{9} = \frac{15 : 3}{9 : 3} = \frac{5}{3} \]
\[ \frac{25^{(5}}{20} = \frac{25 : 5}{20 : 5} = \frac{5}{4} \]
O fracție care nu se mai poate simplifica prin niciun număr natural (în afară de 1) se numește fracție ireductibilă.
O fracție se numește reductibilă dacă se poate simplifica (atunci când numărătorul și numitorul au divizori comuni diferiți de 1).
O fracție \(\frac{a}{b}\) este ireductibilă dacă și numai dacă numărătorul \(a\) și numitorul \(b\) sunt numere prime între ele (cel mai mare divizor comun al lor este 1):
\[ \text{c.m.m.d.c.}(a, b) = 1 \]
Pentru a transforma o fracție reductibilă într-una ireductibilă:
- Metoda directă: Simplificăm fracția direct prin cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numărătorului și numitorului.
- Metoda succesivă: Simplificăm succesiv fracția prin divizori comuni mai mici, până când nu se mai poate simplifica.
Simplificarea succesivă a fracției \(\frac{120}{180}\):
\[ \frac{120^{(2}}{180} = \frac{60^{(5}}{90} = \frac{12^{(3}}{18} = \frac{4^{(2}}{6} = \frac{2}{3} \]
Fracția \(\frac{2}{3}\) este ireductibilă deoarece \(\text{c.m.m.d.c.}(2, 3) = 1\).
Probleme propuse
1. (Dificultate: Ușoară) Amplificați fracția \(\frac{3}{5}\) pentru a obține o fracție echivalentă care are numitorul egal cu 30.
Pentru a afla numărul cu care trebuie să amplificăm, împărțim numitorul dorit la numitorul actual:
\[ 30 : 5 = 6 \]
Prin urmare, amplificăm fracția cu 6:
\[ \overset{6)}{\frac{3}{5}} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30} \]
Răspuns: \(\frac{18}{30}\)
2. (Dificultate: Medie) Aduceți fracția \(\frac{84}{144}\) la forma sa ireductibilă folosind simplificarea succesivă.
Simplificăm succesiv prin divizorii comuni pe care îi observăm:
Alternativ, puteam simplifica direct prin cel mai mare divizor comun, care este 12: \[ \frac{84^{(12}}{144} = \frac{7}{12} \] Răspuns: \(\frac{7}{12}\)
- Simplificăm prin 2 (ambele numere fiind pare): \[ \frac{84^{(2}}{144} = \frac{42}{72} \]
- Simplificăm din nou prin 2: \[ \frac{42^{(2}}{72} = \frac{21}{36} \]
- Simplificăm prin 3 (ambele numere sunt divizibile cu 3, deoarece suma cifrelor lor se împarte la 3): \[ \frac{21^{(3}}{36} = \frac{7}{12} \]
Alternativ, puteam simplifica direct prin cel mai mare divizor comun, care este 12: \[ \frac{84^{(12}}{144} = \frac{7}{12} \] Răspuns: \(\frac{7}{12}\)
3. (Dificultate: Medie-Dificilă) Determinați toate cifrele \(x\) pentru care fracția \(\frac{\overline{3x}}{25}\) este reductibilă.
Pentru ca fracția să fie reductibilă, numărătorul \(\overline{3x}\) și numitorul \(25\) trebuie să aibă cel puțin un divizor comun mai mare decât 1.
Divizorii numărului \(25\) sunt \(1\), \(5\) și \(25\). Astfel, singurul divizor prim comun posibil este \(5\).
Pentru ca \(\overline{3x}\) să fie divizibil cu \(5\), ultima sa cifră \(x\) trebuie să fie \(0\) sau \(5\).
Divizorii numărului \(25\) sunt \(1\), \(5\) și \(25\). Astfel, singurul divizor prim comun posibil este \(5\).
Pentru ca \(\overline{3x}\) să fie divizibil cu \(5\), ultima sa cifră \(x\) trebuie să fie \(0\) sau \(5\).
- Dacă \(x = 0\), fracția devine \(\frac{30}{25}\), care se simplifică prin 5: \(\frac{30^{(5}}{25} = \frac{6}{5}\).
- Dacă \(x = 5\), fracția devine \(\frac{35}{25}\), care se simplifică prin 5: \(\frac{35^{(5}}{25} = \frac{7}{5}\).
4. (Dificultate: Dificilă) Simplificați fracția \(\frac{19^n + 19^{n+1}}{4^n + 4^{n+1}}\), unde \(n \in \mathbb{N}^*\), și arătați că fracția obținută este ireductibilă.
Mai întâi, descompunem termenii de la numărător și numitor folosind regulile de calcul cu puteri:
\[ 19^{n+1} = 19^n \cdot 19^1 = 19^n \cdot 19 \]
\[ 4^{n+1} = 4^n \cdot 4^1 = 4^n \cdot 4 \]
Acum dăm factor comun la numărător pe \(19^n\) și la numitor pe \(4^n\):
\[ \frac{19^n + 19^{n+1}}{4^n + 4^{n+1}} = \frac{19^n \cdot (1 + 19)}{4^n \cdot (1 + 4)} = \frac{19^n \cdot 20}{4^n \cdot 5} \]
Simplificăm numerele 20 și 5 de la numărător și numitor prin 5:
\[ \frac{19^n \cdot 20^{(5}}{4^n \cdot 5} = \frac{19^n \cdot 4}{4^n} \]
Deoarece \(4^n = 4^{n-1} \cdot 4\) (pentru \(n \ge 1\)), putem simplifica prin 4:
\[ \frac{19^n \cdot 4^{(4}}{4^{n-1} \cdot 4} = \frac{19^n}{4^{n-1}} \]
Deoarece numărul 19 este prim, singurul său divizor prim este 19. Numărul 4 are ca singur divizor prim pe 2. Prin urmare, bazele 19 și 4 nu au factori primi comuni, ceea ce înseamnă că nici puterile lor \(19^n\) și \(4^{n-1}\) nu vor avea divizori comuni diferiți de 1.
Astfel, fracția \(\frac{19^n}{4^{n-1}}\) este ireductibilă pentru orice \(n \in \mathbb{N}^*\).
Răspuns: Fracția simplificată este \(\frac{19^n}{4^{n-1}}\), care este ireductibilă.
