Cele mai importante aspecte ale lecției
Datele statistice se colectează, se organizează în tabele de frecvențe (conținând frecvențe absolute sau relative) și se reprezintă grafic prin:
- Grafice cu bare (verticale sau orizontale) pentru a compara date diferite (ex. discipline preferate).
- Grafice cu linii pentru a arăta evoluția în timp (ex. temperatura zilnică).
- Diagrame circulare pentru a exprima procentual părțile dintr-un întreg.
- Medie simplă: \( M = \frac{\text{Suma valorilor}}{\text{Numărul total de valori}} \)
- Medie ponderată: \( M = \frac{\text{Suma produselor (valoare } \cdot \text{ frecvență)}}{\text{Suma frecvențelor}} \)
Organizarea datelor reprezintă un proces de identificare, ordonare, evaluare și măsurare a unor informații colectate.
Frecvența este numărul natural care arată câți dintre participanții la un studiu îndeplinesc o anumită caracteristică.
Frecvența absolută reprezintă numărul exact de apariții al unei valori specifice în setul de date.
Frecvența relativă reprezintă raportul dintre frecvența absolută și numărul total de date. Aceasta se poate exprima ca fracție simplă, fracție zecimală sau procent:
\[ \text{Frecvența relativă} = \frac{\text{Frecvența absolută}}{\text{Numărul total de date}} \]
Într-o clasă de \( 25 \) de elevi, \( 5 \) elevi preferă Matematica.
- Frecvența absolută a opțiunii „Matematică” este \( 5 \).
- Frecvența relativă este \( \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2 = 20\% \).
Tabele de frecvențe: Sunt utilizate pentru a înregistra și structura datele culese într-un mod clar și ordonat, pe linii și coloane.
Grafice cu bare: Se folosesc pentru a compara mărimi de tipuri diferite. Barele pot fi verticale sau orizontale, iar lungimea (sau înălțimea) lor este proporțională cu frecvența absolută a datelor.
Grafice cu linii: Sunt ideale pentru a urmări evoluția sau tendința unui singur obiect/proces pe o anumită perioadă de timp. Valorile sunt reprezentate prin puncte unite cu segmente de dreaptă.
Diagrame circulare: Se utilizează atunci când dorim să arătăm ponderea fiecărei categorii din total (întregul fiind reprezentat de cercul complet, adică \( 100\% \)).
Media simplă (aritmetică) se calculează atunci când fiecare valoare apare o singură dată:
\[ M = \frac{V_1 + V_2 + \dots + V_n}{n} \]
unde \( V_1, V_2, \dots, V_n \) sunt valorile, iar \( n \) este numărul total de valori.
Media ponderată (cu frecvențe) se folosește atunci când valorile apar de mai multe ori:
\[ M = \frac{V_1 \cdot f_1 + V_2 \cdot f_2 + \dots + V_k \cdot f_k}{f_1 + f_2 + \dots + f_k} \]
unde \( V_1, V_2, \dots, V_k \) sunt valorile distincte, iar \( f_1, f_2, \dots, f_k \) reprezintă frecvențele absolute ale acestora.
Să calculăm media clasei dacă notele obținute la un test sunt organizate astfel:
Calculul mediei:
\[ M = \frac{5 \cdot 2 + 6 \cdot 3 + 7 \cdot 6 + 8 \cdot 8 + 9 \cdot 6 + 10 \cdot 5}{2 + 3 + 6 + 8 + 6 + 5} \]
\[ M = \frac{10 + 18 + 42 + 64 + 54 + 50}{30} = \frac{238}{30} \approx 7,93 \]
| Nota (\( V \)) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Număr elevi (\( f \)) | 2 | 3 | 6 | 8 | 6 | 5 |
Probleme practice
Problemă ușoară: La un test de geografie, cinci elevi au obținut următoarele note: \( 8 \), \( 9 \), \( 7 \), \( 10 \) și \( 6 \). Calculați media notelor obținute de acești elevi.
Pentru a calcula media simplă a celor 5 note, adunăm valorile și împărțim rezultatul la numărul total de note (\( n = 5 \)):
\[ M = \frac{8 + 9 + 7 + 10 + 6}{5} \]
\[ M = \frac{40}{5} = 8 \]
Răspuns: Media notelor este \( 8 \).
Răspuns: Media notelor este \( 8 \).
Problemă medie: Într-un magazin s-a înregistrat numărul de perechi de pantofi vânduți zilnic, în funcție de mărime, conform următorului tabel de frecvențe:
a) Câte perechi de pantofi s-au vândut în total?
b) Care este mărimea medie a pantofilor vânduți?
| Mărime pantofi | 36 | 37 | 38 | 39 |
|---|---|---|---|---|
| Număr perechi (Frecvență) | 3 | 5 | 8 | 4 |
b) Care este mărimea medie a pantofilor vânduți?
a) Pentru a afla totalul perechilor vândute, adunăm frecvențele absolute:
\[ \text{Total} = 3 + 5 + 8 + 4 = 20 \text{ perechi} \]
b) Pentru a calcula mărimea medie, folosim formula mediei ponderate:
\[ M = \frac{36 \cdot 3 + 37 \cdot 5 + 38 \cdot 8 + 39 \cdot 4}{20} \]
\[ M = \frac{108 + 185 + 304 + 156}{20} \]
\[ M = \frac{753}{20} = 37,65 \]
Răspuns: a) S-au vândut \( 20 \) de perechi; b) Mărimea medie este \( 37,65 \).
Răspuns: a) S-au vândut \( 20 \) de perechi; b) Mărimea medie este \( 37,65 \).
Problemă dificilă: Un agricultor a vândut la piață \( 10 \text{ kg} \) de roșii cu \( 5 \text{ lei/kg} \), \( 15 \text{ kg} \) de cartofi cu un anumit preț pe kilogram și \( 5 \text{ kg} \) de ceapă cu \( 4 \text{ lei/kg} \). Știind că prețul mediu al unui kilogram de legume vândute a fost de \( 4,3 \text{ lei} \), aflați prețul unui kilogram de cartofi.
Notăm cu \( x \) prețul unui kilogram de cartofi.
Cantitatea totală de legume vândută este: \[ 10 \text{ kg} + 15 \text{ kg} + 5 \text{ kg} = 30 \text{ kg} \] Suma totală obținută din vânzare este: \[ S = 10 \cdot 5 + 15 \cdot x + 5 \cdot 4 = 50 + 15x + 20 = 70 + 15x \text{ lei} \] Știm că prețul mediu este de \( 4,3 \text{ lei/kg} \). Aplicăm formula mediei: \[ M = \frac{\text{Suma totală}}{\text{Cantitatea totală}} = 4,3 \] \[ \frac{70 + 15x}{30} = 4,3 \] Înmulțim ambele părți ale ecuației cu \( 30 \): \[ 70 + 15x = 4,3 \cdot 30 \] \[ 70 + 15x = 129 \] Scădem \( 70 \): \[ 15x = 129 - 70 \] \[ 15x = 59 \] \[ x = \frac{59}{15} \approx 3,93 \text{ lei} \]
Răspuns: Un kilogram de cartofi a costat \( 3,93 \text{ lei} \) (sau \( 3 \frac{14}{15} \text{ lei} \)).
Cantitatea totală de legume vândută este: \[ 10 \text{ kg} + 15 \text{ kg} + 5 \text{ kg} = 30 \text{ kg} \] Suma totală obținută din vânzare este: \[ S = 10 \cdot 5 + 15 \cdot x + 5 \cdot 4 = 50 + 15x + 20 = 70 + 15x \text{ lei} \] Știm că prețul mediu este de \( 4,3 \text{ lei/kg} \). Aplicăm formula mediei: \[ M = \frac{\text{Suma totală}}{\text{Cantitatea totală}} = 4,3 \] \[ \frac{70 + 15x}{30} = 4,3 \] Înmulțim ambele părți ale ecuației cu \( 30 \): \[ 70 + 15x = 4,3 \cdot 30 \] \[ 70 + 15x = 129 \] Scădem \( 70 \): \[ 15x = 129 - 70 \] \[ 15x = 59 \] \[ x = \frac{59}{15} \approx 3,93 \text{ lei} \]
Răspuns: Un kilogram de cartofi a costat \( 3,93 \text{ lei} \) (sau \( 3 \frac{14}{15} \text{ lei} \)).
