VI.3.2. Rezolvă

Pasul 1: Analiza datelor problemei și pregătirea desenului

Pentru a rezolva problema, trebuie să construim o figură geometrică respectând condițiile date. Avem două drepte, \( d \) și \( g \), care se intersectează în punctul \( O \). Punctul \( O \) va servi drept centru de simetrie pentru segmentele pe care urmează să le trasăm.
Desenează două drepte care se taie sub orice unghi (drepte concurente) și notează punctul lor de intersecție cu O. Notează una dintre drepte cu d și pe cealaltă cu g. Folosește o riglă gradată pentru a măsura distanțe pe aceste drepte. Pe dreapta d, de o parte și de alta a punctului O, marchează punctele M și N astfel încât distanța OM să fie de 1,5 cm și distanța ON să fie tot de 1,5 cm (astfel încât segmentul MN să aibă 3 cm). Pe dreapta g, procedează la fel: marchează punctele P și Q astfel încât OP = 1,5 cm și OQ = 1,5 cm (astfel încât segmentul PQ să aibă 3 cm). Verifică vizual ca punctul O să fie exact la mijlocul distanțelor dintre M și N, respectiv dintre P și Q.

Pasul 2: Determinarea poziției punctelor \( M \) și \( N \) pe dreapta \( d \)

Ni se spune că punctul \( O \) este mijlocul segmentului \( MN \). Din definiția mijlocului unui segment, știm că acesta împarte segmentul în două părți egale: \[ OM = ON = \frac{MN}{2} \] Deoarece lungimea segmentului \( MN \) este de \( 3 \text{ cm} \), calculăm distanța de la punctul de intersecție \( O \) la fiecare dintre capetele segmentului: \[ OM = ON = 3 : 2 = 1,5 \text{ cm} \] Astfel, pe dreapta \( d \), măsurăm \( 1,5 \text{ cm} \) în ambele direcții pornind din \( O \) pentru a fixa punctele \( M \) și \( N \).

Pasul 3: Determinarea lungimii segmentului \( PQ \)

Enunțul precizează că segmentele \( MN \) și \( PQ \) sunt congruente (\( MN \equiv PQ \)). Congruența segmentelor înseamnă că acestea au lungimi egale. Prin urmare: \[ PQ = MN = 3 \text{ cm} \]

Pasul 4: Determinarea poziției punctelor \( P \) și \( Q \) pe dreapta \( g \)

Punctul \( O \) este, de asemenea, mijlocul segmentului \( PQ \). Aplicăm aceeași logică ca la pasul 2: \[ OP = OQ = \frac{PQ}{2} \] \[ OP = OQ = 3 : 2 = 1,5 \text{ cm} \] Pe dreapta \( g \), măsurăm câte \( 1,5 \text{ cm} \) de o parte și de alta a punctului \( O \) pentru a fixa punctele \( P \) și \( Q \).

Pasul 5: Finalizarea construcției

Prin fixarea acestor puncte, am obținut configurația cerută: două drepte concurente în \( O \), cu segmentele \( MN \) și \( PQ \) având lungimea de \( 3 \text{ cm} \), fiecare fiind înjumătățit de punctul de intersecție.

\( d \cap g = \{O\} \), \( MN = 3 \text{ cm} \), \( PQ = MN = 3 \text{ cm} \) \( O \) mijloc \( MN \Rightarrow OM = ON = 3 : 2 = 1,5 \text{ cm} \) \( O \) mijloc \( PQ \Rightarrow OP = OQ = 3 : 2 = 1,5 \text{ cm} \) Se desenează punctele pe drepte la \( 1,5 \text{ cm} \) de \( O \).