Cele mai importante aspecte ale lecției
- Unghiurile se clasifică în:
- Nul: are măsura de \( 0^\circ \).
- Ascuțit: are măsura între \( 0^\circ \) și \( 90^\circ \) (de exemplu, \( 45^\circ \)).
- Drept: are măsura egală cu \( 90^\circ \).
- Obtuz: are măsura între \( 90^\circ \) și \( 180^\circ \) (de exemplu, \( 120^\circ \)).
- Alungit: are măsura de \( 180^\circ \).
- Axioma de adunare a unghiurilor ne permite să calculăm măsura unui unghi compus prin însumarea unghiurilor sale interioare componente. De exemplu, dacă un unghi de \( 130^\circ \) este împărțit de o semidreaptă interioară în două unghiuri, iar unul are \( 40^\circ \), celălalt va avea \( 130^\circ - 40^\circ = 90^\circ \).
Unghiuri improprii: Sunt unghiurile care au laturile identice (coincidente) sau în prelungire.
-
Unghiul nul: are laturile semidrepte identice. Măsura sa este de \( 0^\circ \).
\( \sphericalangle AOB \text{ este unghi nul} \iff \sphericalangle AOB = 0^\circ \) -
Unghiul alungit (sau unghi plin): are laturile semidrepte opuse. Măsura sa este de \( 180^\circ \).
\( \sphericalangle AOB \text{ este unghi alungit} \iff \sphericalangle AOB = 180^\circ \)
Unghiuri proprii: Sunt unghiurile a căror măsură este cuprinsă între \( 0^\circ \) și \( 180^\circ \).
-
Unghiul ascuțit: are măsura mai mare de \( 0^\circ \) și mai mică de \( 90^\circ \).
\( \sphericalangle AOB \text{ este unghi ascuțit} \iff 0^\circ < \sphericalangle AOB < 90^\circ \) -
Unghiul drept: are măsura egală cu \( 90^\circ \). Laturile sale sunt perpendiculare.
\( \sphericalangle AOB \text{ este unghi drept} \iff \sphericalangle AOB = 90^\circ \) -
Unghiul obtuz: are măsura mai mare de \( 90^\circ \) și mai mică de \( 180^\circ \).
\( \sphericalangle AOB \text{ este unghi obtuz} \iff 90^\circ < \sphericalangle AOB < 180^\circ \)
Dacă punctul \( B \) este un punct interior unghiului \( AOC \), atunci măsura unghiului întreg este egală cu suma măsurilor unghiurilor formate de semidreapta interioară \( OB \) cu laturile acestuia:
\[ \sphericalangle AOC = \sphericalangle AOB + \sphericalangle BOC \]
Exemplu de calcul:
Să calculăm măsura unghiului \( MAN \) știind că \( AB \) și \( AC \) sunt semidrepte opuse, \( \sphericalangle BAM = 60^\circ \), iar \( \sphericalangle CAN = 30^\circ \).
Rezolvare:
Să calculăm măsura unghiului \( MAN \) știind că \( AB \) și \( AC \) sunt semidrepte opuse, \( \sphericalangle BAM = 60^\circ \), iar \( \sphericalangle CAN = 30^\circ \).
Rezolvare:
- Deoarece \( AB \) și \( AC \) sunt semidrepte opuse, unghiul format de ele este alungit: \( \sphericalangle BAC = 180^\circ \).
- Conform axiomei de adunare a unghiurilor, avem: \[ \sphericalangle BAC = \sphericalangle BAM + \sphericalangle MAN + \sphericalangle CAN \]
- Înlocuim valorile cunoscute: \[ 180^\circ = 60^\circ + \sphericalangle MAN + 30^\circ \] \[ 180^\circ = 90^\circ + \sphericalangle MAN \] \[ \sphericalangle MAN = 180^\circ - 90^\circ \implies \sphericalangle MAN = 90^\circ \] (unghiul \( MAN \) este un unghi drept).
Practice problems
Problema 1 (Ușoară): Clasificați următoarele unghiuri în funcție de măsura lor:
- a) \( \sphericalangle A = 35^\circ \)
- b) \( \sphericalangle B = 90^\circ \)
- c) \( \sphericalangle C = 115^\circ \)
- d) \( \sphericalangle D = 180^\circ \)
Folosind definițiile unghiurilor, obținem:
- a) \( 35^\circ \) este între \( 0^\circ \) și \( 90^\circ \) \(\implies\) unghi ascuțit;
- b) \( 90^\circ \) este exact \( 90^\circ \) \(\implies\) unghi drept;
- c) \( 115^\circ \) este între \( 90^\circ \) și \( 180^\circ \) \(\implies\) unghi obtuz;
- d) \( 180^\circ \) este exact \( 180^\circ \) \(\implies\) unghi alungit.
Problema 2 (Medie): Se dă un unghi \( ABC \) cu măsura de \( n^\circ + 75^\circ \). Determinați numărul natural \( n \) astfel încât unghiul \( ABC \) să fie:
- a) unghi drept;
- b) unghi alungit.
- a) Pentru ca unghiul să fie drept, măsura sa trebuie să fie egală cu \( 90^\circ \): \[ n^\circ + 75^\circ = 90^\circ \implies n = 90 - 75 \implies n = 15 \]
- b) Pentru ca unghiul să fie alungit, măsura sa trebuie să fie egală cu \( 180^\circ \): \[ n^\circ + 75^\circ = 180^\circ \implies n = 180 - 75 \implies n = 105 \]
Problema 3 (Medie): Două unghiuri au suma măsurilor egală cu \( 160^\circ \). Știind că măsura unuia dintre ele este de trei ori mai mare decât măsura celuilalt, aflați măsurile celor două unghiuri și clasificați-le.
Notăm măsura primului unghi cu \( x \). Atunci, măsura celui de-al doilea unghi va fi \( 3x \).
Suma măsurilor lor este \( 160^\circ \): \[ x + 3x = 160^\circ \] \[ 4x = 160^\circ \implies x = 40^\circ \] Măsurile celor două unghiuri sunt:
Suma măsurilor lor este \( 160^\circ \): \[ x + 3x = 160^\circ \] \[ 4x = 160^\circ \implies x = 40^\circ \] Măsurile celor două unghiuri sunt:
- Primul unghi: \( x = 40^\circ \) (măsură între \( 0^\circ \) și \( 90^\circ \)) \(\implies\) unghi ascuțit.
- Al doilea unghi: \( 3 \cdot 40^\circ = 120^\circ \) (măsură între \( 90^\circ \) și \( 180^\circ \)) \(\implies\) unghi obtuz.
Problema 4 (Dificilă): În figura de mai jos, semidreptele \( OB, OC, OD, OA \) sunt așezate în ordine. Se știe că \( \sphericalangle AOB = 115^\circ \), \( \sphericalangle COD = 20^\circ \), iar măsura unghiului \( AOD \) este egală cu \( \frac{5}{2} \) din măsura unghiului \( COD \). Calculează măsura unghiului \( BOC \).
- Mai întâi, calculăm măsura unghiului \( \sphericalangle AOD \): \[ \sphericalangle AOD = \frac{5}{2} \cdot \sphericalangle COD = \frac{5}{2} \cdot 20^\circ = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ \]
- Deoarece semidreptele sunt în ordinea \( OB, OC, OD, OA \), unghiul mare \( \sphericalangle AOB \) este compus din trei unghiuri adiacente: \( \sphericalangle BOC \), \( \sphericalangle COD \) și \( \sphericalangle AOD \). \[ \sphericalangle AOB = \sphericalangle BOC + \sphericalangle COD + \sphericalangle AOD \]
- Înlocuim valorile cunoscute în relație: \[ 115^\circ = \sphericalangle BOC + 20^\circ + 50^\circ \] \[ 115^\circ = \sphericalangle BOC + 70^\circ \] \[ \sphericalangle BOC = 115^\circ - 70^\circ \implies \sphericalangle BOC = 45^\circ \]
