Cele mai importante aspecte ale lecției
Sinteză noțiuni cheie:
- Scrierea numerelor: Baza 10 descompune numerele în puteri de 10 (\(253 = 2 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0\)), iar Baza 2 folosește puteri ale lui 2 și doar cifrele 0 și 1.
- Aproximări: Rotunjirea mărește cifra de ordin vizat cu 1 dacă cifra imediat următoare este \(\ge 5\), altfel o lasă neschimbată (înlocuind restul cu 0).
- Teorema Împărțirii cu Rest: Întotdeauna \(D = Î \cdot C + R\) cu \(R < Î\). Restul nu poate fi egal sau mai mare decât împărțitorul.
- Reguli de calcul cu puteri: Se aplică doar când avem aceeași bază (\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)) sau același exponent (\(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)).
- Ordinea operațiilor: Puterile au prioritate absolută (Ordinul III), urmate de înmulțiri/împărțiri (Ordinul II), și la final adunări/scăderi (Ordinul I).
Sistemul zecimal utilizează zece cifre arabe: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9. Este un sistem pozițional, în care valoarea unei cifre depinde de poziția sa (ordinul).
Gruparea cifrelor se face de la dreapta la stânga în clase (unități, mii, milioane, miliarde), fiecare clasă având trei ordine: Sute (S), Zeci (Z) și Unități (U).
Cifrele romane sunt: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000).
- O cifră mai mică la dreapta se adună: \(VIII = 5 + 3 = 8\).
- O cifră mai mică la stânga se scade: \(IV = 5 - 1 = 4\).
Un număr este par dacă se termină în 0, 2, 4, 6, 8 și impar dacă se termină în 1, 3, 5, 7, 9.
Reguli de calcul pentru intervale:
- De la \(a\) la \(b\) (inclusiv \(a\) și \(b\)): avem \(b - a + 1\) numere naturale.
- De la \(a\) la \(b\) (inclusiv doar \(a\) sau doar \(b\)): avem \(b - a\) numere naturale.
- Între \(a\) și \(b\) (exclusiv): avem \(b - a - 1\) numere naturale.
Câte numere naturale sunt de la 15 la 45 (inclusiv)? Dar între 15 și 45?
- De la 15 la 45: \(45 - 15 + 1 = 31\) de numere.
- Între 15 și 45: \(45 - 15 - 1 = 29\) de numere.
Axa numerelor este o dreaptă pe care se fixează: o origine \(O\) (corespunzătoare numărului 0), un sens pozitiv (indicat de săgeată, spre dreapta) și o unitate de măsură.
Fiecărui punct de pe axă îi corespunde un număr numit coordonată. Se notează \(A(x)\), unde \(x\) este coordonata punctului \(A\).
Dintre două numere reprezentate pe axă, cel mai mare se află poziționat mai la dreapta.
Două numere alăturate pe axă sunt consecutive. Numărul \(n\) este predecesorul lui \(n+1\), iar \(n+1\) este succesorul lui \(n\).
Aproximarea prin lipsă la un anumit ordin este cel mai mare număr format din acel ordin, mai mic sau egal cu numărul dat (se înlocuiesc cifrele de după ordin cu 0).
Aproximarea prin adaos la un anumit ordin este cel mai mic număr format din acel ordin, strict mai mare decât numărul dat (se mărește cifra ordinului respectiv cu 1 și se înlocuiesc cifrele următoare cu 0).
Rotunjirea este aproximarea cea mai apropiată de numărul real. Dacă ambele aproximări sunt la fel de apropiate (cifra următoare este \(5\)), se alege cea prin adaos.
| Număr | Ordin | Prin lipsă | Prin adaos | Rotunjire |
|---|---|---|---|---|
| \(4\,266\) | Sute | \(4\,200\) | \(4\,300\) | \(4\,300\) (cifra zecilor e \(6 \ge 5\)) |
| \(24\,158\) | Zeci | \(24\,150\) | \(24\,160\) | \(24\,160\) (cifra unităților e \(8 \ge 5\)) |
Adunarea: \(a + b = S\) (termeni, sumă). Este comutativă, asociativă și are elementul neutru \(0\).
Scăderea: \(a - b = D\) (descăzut, scăzător, diferență). Este posibilă în \(\mathbb{N}\) doar dacă \(a \ge b\).
Înmulțirea: \(a \cdot b = P\) (factori, produs). Este comutativă, asociativă, are elementul neutru \(1\) și este distributivă față de adunare și scădere:
\[ a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c \]
Împărțirea exactă: \(a : b = c\) (deîmpărțit, împărțitor, cât), unde \(b \neq 0\). Împărțirea la 0 nu are sens.
Reguli de paritate:
- Suma a două numere cu aceeași paritate este pară: \(par + par = par\), \(impar + impar = par\).
- Suma a două numere cu parități diferite este impară: \(par + impar = impar\).
- Produsul este par dacă cel puțin unul dintre factori este par. Produsul este impar doar dacă ambii factori sunt impari.
Scoaterea factorului comun reprezintă scrierea unei sume sau diferențe de produse ca un singur produs, folosind distributivitatea:
\[ a \cdot b + a \cdot c = a(b + c) \]
\[ a \cdot b - a \cdot c = a(b - c) \]
Suma lui Gauss (Suma primelor \(n\) numere naturale consecutive):
\[ S = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2} \]
Calculați suma: \(2 + 4 + 6 + \dots + 100\).
Dăm factor comun pe \(2\):
\[ S = 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 50) \]
Aplicăm suma lui Gauss pentru \(n = 50\):
\[ 1 + 2 + \dots + 50 = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = 1275 \]
Suma finală este:
\[ S = 2 \cdot 1275 = 2550 \]
Teorema împărțirii cu rest:
Pentru oricare două numere naturale \(D\) (deîmpărțit) și \(Î\) (împărțitor), cu \(Î \neq 0\), există și sunt unice două numere naturale \(C\) (cât) și \(R\) (rest) astfel încât:
\[ D = Î \cdot C + R, \quad \text{unde } 0 \le R < Î \]
Restul este întotdeauna strict mai mic decât împărțitorul!
Dacă împărțim un număr la \(5\), resturile posibile pot fi doar \(0, 1, 2, 3\) sau \(4\).
Aflați cel mai mare număr natural care, împărțit la 6, dă câtul 12.
Conform teoremei împărțirii cu rest:
\[ D = 6 \cdot 12 + R, \quad R < 6 \]
Pentru a obține cel mai mare număr \(D\), trebuie să alegem cel mai mare rest posibil, care este \(R = 5\):
\[ D = 6 \cdot 12 + 5 = 72 + 5 = 77 \]
Puterea reprezintă scrierea prescurtată a unui produs de factori egali:
\[ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ factori}} \]
unde \(a\) este baza, iar \(n\) este exponentul.
Convenții și reguli speciale:
- \(a^1 = a\) și \(a^0 = 1\) (pentru \(a \neq 0\)).
- \(0^n = 0\) (pentru \(n \neq 0\)).
- \(0^0\) nu are sens.
Reguli de calcul cu puteri:
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
- \(a^m : a^n = a^{m-n}\)
- \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\)
- \((a : b)^n = a^n : b^n\)
Un număr care se poate scrie sub forma \(a^2\) se numește pătrat perfect, iar sub forma \(a^3\) se numește cub perfect.
Ultima cifră a unui pătrat perfect poate fi doar 0, 1, 4, 5, 6 sau 9. Dacă un număr are ultima cifră 2, 3, 7 sau 8, acesta sigur nu este pătrat perfect.
Compararea puterilor:
- Dacă bazele sunt egale: \(a^m < a^n\) dacă \(m < n\) (\(a > 1\)).
- Dacă exponenții sunt egali: \(a^n < b^n\) dacă \(a < b\).
- Dacă bazele și exponenții diferă, se aduc la aceeași bază sau la același exponent.
Sistemul zecimal (Baza 10) folosește cifrele de la 0 la 9. Descompunerea în baza 10:
\[ \overline{abc}_{(10)} = a \cdot 10^2 + b \cdot 10^1 + c \cdot 10^0 \]
Sistemul binar (Baza 2) folosește doar cifrele 0 și 1. Descompunerea în baza 2:
\[ \overline{abc}_{(2)} = a \cdot 2^2 + b \cdot 2^1 + c \cdot 2^0 \]
Se împarte numărul succesiv la 2 și se rețin resturile. Numărul scris în baza 2 va fi format din ultimul cât (care este 1), urmat de resturile obținute, citite de la ultimul la primul (de jos în sus).
Transformați numărul \(1101_{(2)}\) în baza 10.
Scriem numărul ca sumă de puteri ale lui 2:
\[ 1101_{(2)} = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \]
\[ 1101_{(2)} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{(10)} \]
- Ordinul III: Ridicarea la putere.
- Ordinul II: Înmulțirea și împărțirea (în ordinea scrierii, de la stânga la dreapta).
- Ordinul I: Adunarea și scăderea (în ordinea scrierii, de la stânga la dreapta).
Se rezolvă mai întâi operațiile din parantezele rotunde \(()\). La finalizarea acestora, parantezele pătrate \([]\) devin rotunde, iar acoladele \(\{\}\) devin pătrate.
Probleme propuse
Problemă Ușoară: Rotunjiți numărul \(3\,568\) la zeci, sute și mii.
- La zeci: Cifra unităților este \(8 \ge 5\), deci rotunjirea prin adaos este \(3\,570\).
- La sute: Cifra zecilor este \(6 \ge 5\), deci rotunjirea prin adaos este \(3\,600\).
- La mii: Cifra sutelor este \(5 \ge 5\), deci rotunjirea prin adaos este \(4\,000\).
Problemă Medie: Calculați folosind scoaterea factorului comun:
\[ 137 \cdot 45 + 137 \cdot 56 - 137 \]
Îl scriem pe ultimul termen sub forma \(137 \cdot 1\) și îl scoatem pe \(137\) factor comun:
\[ 137 \cdot 45 + 137 \cdot 56 - 137 \cdot 1 = 137 \cdot (45 + 56 - 1) \]
\[ = 137 \cdot 100 = 13\,700 \]
Problemă Dificilă: Comparați numerele \(a = 4^{30}\) și \(b = 3^{40}\).
Aducem ambele puteri la același exponent. Observăm că cel mai mare divizor comun al exponenților 30 și 40 este 10.
\[ a = 4^{30} = (4^3)^{10} = 64^{10} \]
\[ b = 3^{40} = (3^4)^{10} = 81^{10} \]
Deoarece ambele puteri au acum exponentul 10, comparăm bazele:
\[ 64 < 81 \implies 64^{10} < 81^{10} \implies a < b \]
