IV.10.2. Rezolvă

Pentru a găsi numărul natural \( n \) în egalitățile date, vom utiliza proprietatea conform căreia două puteri cu aceeași bază sunt egale dacă și numai dacă exponenții lor sunt egali. Vom scrie toți termenii ca puteri ale aceleiași baze, aplicând regulile de calcul specifice.

a) \( \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{16}{81} \)

Identificarea bazei comune

Observăm că în partea stângă avem baza \( \frac{2}{3} \). Trebuie să scriem fracția \( \frac{16}{81} \) ca o putere a fracției \( \frac{2}{3} \). Analizăm numărătorul și numitorul: \( 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 \) \( 81 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 \)

Scrierea sub formă de putere

Fracția devine: \[ \frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \]

Egalarea exponenților

Egalitatea inițială devine: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^n = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \] De aici rezultă că \( n = 4 \).

b) \( \left(\frac{125}{50}\right)^n = \frac{625}{16} \)

Simplificarea bazei

Înainte de orice calcul, simplificăm fracția din paranteză pentru a lucra cu numere mai mici. Cel mai mare divizor comun al numerelor \( 125 \) și \( 50 \) este \( 25 \): \[ \frac{125^{(25}}{50} = \frac{125 : 25}{50 : 25} = \frac{5}{2} \] Ecuația devine \( \left(\frac{5}{2}\right)^n = \frac{625}{16} \).

Exprimarea ca putere a bazei noi

Căutăm să scriem \( \frac{625}{16} \) ca o putere a bazei \( \frac{5}{2} \): \( 625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4 \) \( 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 \) Deci, \( \frac{625}{16} = \left(\frac{5}{2}\right)^4 \).

Aflarea lui \( n \)

Avem egalitatea: \[ \left(\frac{5}{2}\right)^n = \left(\frac{5}{2}\right)^4 \] Prin urmare, \( n = 4 \).

c) \( \left[\left(\frac{3}{7}\right)^n\right]^3 \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^4 = \left(\frac{9}{49}\right)^5 \)

Aplicarea regulilor de calcul în membrul stâng

Folosim regula puterii unei puteri \( [a^m]^p = a^{m \cdot p} \) și regula înmulțirii puterilor cu aceeași bază \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \): \( \left[\left(\frac{3}{7}\right)^n\right]^3 = \left(\frac{3}{7}\right)^{3n} \) Atunci, membrul stâng este: \[ \left(\frac{3}{7}\right)^{3n} \cdot \left(\frac{3}{7}\right)^4 = \left(\frac{3}{7}\right)^{3n + 4} \]

Transformarea membrului drept

Scriem baza \( \frac{9}{49} \) ca o putere a bazei \( \frac{3}{7} \): \( \frac{9}{49} = \frac{3^2}{7^2} = \left(\frac{3}{7}\right)^2 \) Atunci, membrul drept devine: \[ \left[\left(\frac{3}{7}\right)^2\right]^5 = \left(\frac{3}{7}\right)^{2 \cdot 5} = \left(\frac{3}{7}\right)^{10} \]

Rezolvarea ecuației pentru exponenți

Egalăm exponenții celor două puteri cu baza \( \frac{3}{7} \): \[ 3n + 4 = 10 \] Scădem \( 4 \) din ambele părți: \[ 3n = 10 - 4 \] \[ 3n = 6 \] Împărțim la \( 3 \): \[ n = 6 : 3 \] \[ n = 2 \]

a)

\( (\frac{2}{3})^n = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4 \Rightarrow n = 4 \)

b)

\( (\frac{125^{(25}}{50})^n = \frac{625}{16} \Rightarrow (\frac{5}{2})^n = \frac{5^4}{2^4} = (\frac{5}{2})^4 \Rightarrow n = 4 \)

c)

\( (\frac{3}{7})^{3n} \cdot (\frac{3}{7})^4 = [(\frac{3}{7})^2]^5 \Rightarrow (\frac{3}{7})^{3n+4} = (\frac{3}{7})^{10} \) \( 3n+4 = 10 \Rightarrow 3n = 6 \Rightarrow n = 2 \)