III.3. Rezolvă

Pentru a găsi cel mai mic număr de flori care se pot planta exact în rânduri de câte 10, 16 și respectiv 20, trebuie să determinăm cel mai mic multiplu comun al celor trei numere, diferit de zero.

Pasul 1: Identificarea conceptului matematic

Numărul căutat trebuie să fie un multiplu comun pentru 10, 16 și 20, deoarece trebuie să se împartă exact la oricare dintre aceste numere pentru a forma rânduri complete. Deoarece căutăm "cel mai mic număr", vom extrage cel mai mic element nenul din intersecția mulțimilor de multipli.

Pasul 2: Scrierea multiplilor numărului 10

Enumerăm multiplii lui 10 prin adunarea succesivă a numărului 10, pornind de la 0: \( \mathcal{M}_{10} = \{0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, \dots\} \)

Pasul 3: Scrierea multiplilor numărului 16

Enumerăm multiplii lui 16 prin adunarea succesivă a numărului 16: \( \mathcal{M}_{16} = \{0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, \dots\} \)

Pasul 4: Scrierea multiplilor numărului 20

Enumerăm multiplii lui 20 prin adunarea succesivă a numărului 20: \( \mathcal{M}_{20} = \{0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, \dots\} \)

Pasul 5: Intersectarea mulțimilor și alegerea rezultatului

Căutăm primul număr (în afară de 0) care apare în toate cele trei liste. Observăm că numărul \( 80 \) este prezent în toate cele trei mulțimi: - În \( \mathcal{M}_{10} \): \( 10 \cdot 8 = 80 \) - În \( \mathcal{M}_{16} \): \( 16 \cdot 5 = 80 \) - În \( \mathcal{M}_{20} \): \( 20 \cdot 4 = 80 \) Prin urmare, \( \mathcal{M}_{10} \cap \mathcal{M}_{16} \cap \mathcal{M}_{20} = \{0, 80, 160, \dots\} \). Cel mai mic număr de flori este 80.

\( \mathcal{M}_{10} = \{0, 10, \dots, 80, \dots\} \) \( \mathcal{M}_{16} = \{0, 16, 32, 48, 64, 80, \dots\} \) \( \mathcal{M}_{20} = \{0, 20, 40, 60, 80, \dots\} \) \( c.m.m.m.c.(10, 16, 20) = 80 \) Răspuns: 80 flori.